21. (6 分)已知$m = \sqrt{a + 2\sqrt{a - 1}} + \sqrt{a - 2\sqrt{a - 1}}(1 \leqslant a \leqslant 2)$，求$\sqrt{m^{3} + 1}$的值。
答案：21.因为1≤a≤2，所以0≤a - 1≤1，即0≤√(a - 1)≤1.所以√(a - 1) + 1＞0，√(a - 1) - 1≤0.所以m = √(a + 2√(a - 1)) + √(a - 2√(a - 1)) = √(a - 1 + 2√(a - 1) + 1) + √(a - 1 - 2√(a - 1) + 1) = √(a - 1) + 1 + 1 - √(a - 1) = 2.则√(m² + 1)=√9 = 3.
解析：
因为$1 \leqslant a \leqslant 2$，所以$0 \leqslant a - 1 \leqslant 1$，即$0 \leqslant \sqrt{a - 1} \leqslant 1$。
则$m = \sqrt{a + 2\sqrt{a - 1}} + \sqrt{a - 2\sqrt{a - 1}}$
$= \sqrt{(a - 1) + 2\sqrt{a - 1} + 1} + \sqrt{(a - 1) - 2\sqrt{a - 1} + 1}$
$= \sqrt{(\sqrt{a - 1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{a - 1} - 1)^2}$
$= (\sqrt{a - 1} + 1) + (1 - \sqrt{a - 1})$
$= 2$
所以$\sqrt{m^3 + 1} = \sqrt{2^3 + 1} = \sqrt{9} = 3$
22. (6 分)先化简，再求值：$\dfrac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x + \sqrt{x^{2} + y^{2}}} + \dfrac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x - \sqrt{x^{2} + y^{2}}} + \dfrac{2\sqrt{x^{2} + y^{2}} + y}{y} · \dfrac{x}{y}$，其中$x = \sqrt{3} - \sqrt{2}$，$y = \sqrt{3} + \sqrt{2}$。
答案：22.原式 = √(x² + y²(x - √(x² + y²)))/((x + √(x² + y²))(x - √(x² + y²))) + √(x² + y²(x + √(x² + y²)))/((x - √(x² + y²))(x + √(x² + y²))) = (2x√(x² + y²) - y²)/(2x√(x² + y²) + xy) = x/y.又x = √3 - √2，y = √3 + √2，所以原式 = (√3 - √2)/(√3 + √2) = 5 - 2√6.
解析：
解：原式$=\dfrac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}(x - \sqrt{x^{2}+y^{2}})}{(x + \sqrt{x^{2}+y^{2}})(x - \sqrt{x^{2}+y^{2}})}+\dfrac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}(x + \sqrt{x^{2}+y^{2}})}{(x - \sqrt{x^{2}+y^{2}})(x + \sqrt{x^{2}+y^{2}})}+(\dfrac{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{y}+1)·\dfrac{x}{y}$
$=\dfrac{x\sqrt{x^{2}+y^{2}}-(x^{2}+y^{2})+x\sqrt{x^{2}+y^{2}}+(x^{2}+y^{2})}{x^{2}-(x^{2}+y^{2})}+\dfrac{2x\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{y^{2}}+\dfrac{x}{y}$
$=\dfrac{2x\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{-y^{2}}+\dfrac{2x\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{y^{2}}+\dfrac{x}{y}$
$=\dfrac{x}{y}$
当$x = \sqrt{3}-\sqrt{2}$，$y=\sqrt{3}+\sqrt{2}$时，
原式$=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}=5 - 2\sqrt{6}$
23. (8 分)在三边长分别为$a$，$b$，$c(a ＜ b ＜ c)$的三角形中，求证：$\sqrt{a} + \sqrt{b} ＞ \sqrt{c}$。
答案：23.由题意，得a + b＞c，a＞0，b＞0，c＞0，则ab＞0，√(ab)＞0.所以a + b + 2√(ab)＞c，即(√a + √b)²＞(√c)².所以√a + √b＞√c.
解析：
证明：因为三角形三边长分别为$a$，$b$，$c(a ＜ b ＜ c)$，所以$a + b ＞ c$，且$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，$c ＞ 0$。
由于$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，则$\sqrt{ab} ＞ 0$，所以$2\sqrt{ab} ＞ 0$。
因此$a + b + 2\sqrt{ab} ＞ c$，即$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 ＞ (\sqrt{c})^2$。
又因为$\sqrt{a} + \sqrt{b} ＞ 0$，$\sqrt{c} ＞ 0$，所以$\sqrt{a} + \sqrt{b} ＞ \sqrt{c}$。
