1. 若分式方程$\frac{1}{x - 3} + 1 = \frac{a - x}{x - 3}$有增根，则$a$的值是(
D
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：1. D
易错警示
解题的关键是掌握分式方程有增根时分式的分母等于0.
2. 若解关于$x$的分式方程$\frac{2m + x}{x - 3} - 1 = \frac{2}{x}$时会产生增根，则增根为
$x=3$
。
答案：2. $x=3$
3. 当$m$为何值时，关于$x$的分式方程$\frac{2}{x + 1} + \frac{5}{1 - x} = \frac{m}{x^2 - 1}$会产生增根？
答案：3. 去分母，得$2(x-1)-5(x+1)=m$.整理，得$m=-3x-7$.因为原方程有增根，所以$(x+1)(x-1)=0$，解得$x=1$或$x=-1$.所以当$x=1$时，$m=-10$；当$x=-1$时，$m=-4$.所以当$m=-4$或$-10$时，方程$\frac{2}{x+1}+\frac{5}{1-x}=\frac{m}{x^2-1}$会产生增根.
解析：
解：方程两边同乘$(x + 1)(x - 1)$，得$2(x - 1) - 5(x + 1) = m$。
整理，得$m = -3x - 7$。
因为原方程有增根，所以$(x + 1)(x - 1) = 0$，解得$x = 1$或$x = -1$。
当$x = 1$时，$m = -3×1 - 7 = -10$；
当$x = -1$时，$m = -3×(-1) - 7 = -4$。
所以当$m = -4$或$m = -10$时，方程会产生增根。
4. (2025·黑龙江齐齐哈尔)如果关于$x$的分式方程$\frac{mx}{1 - x} + \frac{x}{x - 1} = 2$无解，那么实数$m$的取值范围是(
C
)
A.$m = 1$
B.$m = -1$
C.$m = 1$或$m = -1$
D.$m \neq 1$且$m \neq -1$
答案：4. C
解析：
去分母得：$-mx + x = 2(1 - x)$，整理得$(3 - m)x = 2$。
情况1：当$3 - m = 0$，即$m = 3$时，方程无解。
情况2：当$3 - m \neq 0$，即$m \neq 3$时，$x = \frac{2}{3 - m}$。若原方程无解，则$x = 1$是增根，代入得$\frac{2}{3 - m} = 1$，解得$m = 1$。
综上，$m = 3$或$m = 1$。
1
5. (2024·四川达州改编)若关于$x$的分式方程$\frac{3}{x - 2} - \frac{kx - 1}{x - 2} = 1$无解，则$k$的值为
$-1$或$2$
。
答案：5. $-1$或$2$
解析：
方程两边同乘$x - 2$，得$3 - (kx - 1) = x - 2$，整理得$(k + 1)x = 6$。
当$k + 1 = 0$，即$k = -1$时，方程无解。
当$k + 1 \neq 0$时，$x = \frac{6}{k + 1}$。因为原分式方程无解，所以$x - 2 = 0$，即$x = 2$。则$\frac{6}{k + 1} = 2$，解得$k = 2$。
综上，$k$的值为$-1$或$2$。
6. 已知关于$x$的分式方程$\frac{x}{x + 1} = \frac{ax}{3x + 3} + 1$无解，求常数$a$的值。
答案：6. 去分母，得$3x=ax+3(x+1)$，所以$ax=-3$.因为关于$x$的分式方程$\frac{x}{x+1}=\frac{ax}{3x+3}+1$无解，所以当$a=0$，此时分式方程无解；当$a\neq0$，$x+1=0$，即$x=-1$时，$a=3$，此时分式方程也无解.综上，$a$的值是0或3.
解析：
解：方程两边同乘$3(x + 1)$，得$3x = ax + 3(x + 1)$，化简得$ax=-3$。
当$a = 0$时，方程$ax=-3$无解，原分式方程无解；
当$a \neq 0$时，$x=-\dfrac{3}{a}$。若原分式方程无解，则$x + 1 = 0$，即$x=-1$，所以$-\dfrac{3}{a}=-1$，解得$a = 3$。
综上，$a$的值是$0$或$3$。
7. (2025·四川眉山)若关于$x$的不等式组$\begin{cases}\frac{3x - 1}{2} \leq x + 2, \\x + 1 \geq -x + a\end{cases}$至少有两个正整数解，且关于$x$的分式方程$\frac{a - 1}{x - 1} = 2 - \frac{3}{1 - x}$的解为正整数，则所有满足条件的整数$a$的值之和为( )
A.8
B.14
C.18
D.38
答案：7. B 解析：解不等式组$\begin{cases}3x-1\over2\leq x+2,\\x+1\geq-x+a,\end{cases}$
得$\begin{cases}x\leq5,\\x\geq\frac{a-1}{2}.\end{cases}$
又不等式组至少有两个正整数解，所以$\frac{a-1}{2}\leq4$，解得$a\leq9$.解分式方程$\frac{a-1}{x-1}=2-\frac{3}{1-x}$，得$x=\frac{a-2}{2}$.又分式方程的解为正整数，所以$x＞0$，$x-1\neq0$，且$a$为偶数，即$\frac{a-2}{2}＞0$，
$\frac{a-2}{2}\neq1$，解得$a＞2$，$a\neq4$，且$a$为偶数.所以$a$的取值范围为$2＜a\leq9$，$a\neq4$，且$a$为偶数.所以所有满足条件的整数$a$的值之和为$6+8=14$.
8. (2025·江苏南京模拟)已知关于$x$的分式方程$\frac{m}{x - 2} + 1 = \frac{x}{2 - x}$的解是非负数，则$m$的取值范围是
$m\leq2$且$m\neq-2$
。
答案：8. $m\leq2$且$m\neq-2$ 解析：去分母，得$m+(x-2)=-x$，解得$x=\frac{2-m}{2}$.又原分式方程的解为非负数，所以$x\geq0$且$x-2\neq0$，即$\frac{2-m}{2}\geq0$且$\frac{2-m}{2}\neq2$，解得$m\leq2$且$m\neq-2$.则$m$的取值范围是$m\leq2$且$m\neq-2$.
解析：
解：去分母，得$m + (x - 2) = -x$，解得$x = \frac{2 - m}{2}$。
因为原分式方程的解为非负数，所以$x \geq 0$且$x - 2 \neq 0$，即$\frac{2 - m}{2} \geq 0$且$\frac{2 - m}{2} \neq 2$。
由$\frac{2 - m}{2} \geq 0$，得$2 - m \geq 0$，解得$m \leq 2$。
由$\frac{2 - m}{2} \neq 2$，得$2 - m \neq 4$，解得$m \neq -2$。
综上，$m$的取值范围是$m \leq 2$且$m \neq -2$。
9. （2024·重庆B卷改编）若关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases}\frac{2x + 1}{3} \leq 3, \\4x - 2 ＜ 3x + a\end{cases}$的解集为$x \leq 4$，且关于$y$的分式方程$\frac{a - 8}{y + 2} - \frac{y}{y + 2} = 1$的解为负整数，求所有满足条件的整数$a$的值之和。
答案：9. 解不等式组$\begin{cases}2x+1\over3\leq3,\\4x-2＜3x+a,\end{cases}$
得$\begin{cases}x\leq4,\\x＜a+2.\end{cases}$
又原不等式组的解集为$x\leq4$，所以$a+2＞4$，解得$a＞2$.解分式方程$\frac{a-8}{y+2}-\frac{y}{y+2}=1$，得$y=\frac{a-10}{2}$.又原分式方程的解为负整数，$y+2\neq0$，所以$y\neq-2$，$y＜0$，$a-10$的值为偶数.所以$\frac{a-10}{2}\neq-2$，$\frac{a-10}{2}＜0$，即$a$是小于10的偶数且$a\neq6$.综上，$a$的值为4或8.则所有满足条件的整数$a$的值之和为$4+8=12$.
10. （新素养 运算能力）已知关于$x$的分式方程$\frac{2x + 3}{x - 2} = \frac{k}{(x - 2)(x + 3)} + 2$的解满足$-4 ＜ x ＜ -1$，且$k$为整数，求符合条件的所有$k$的值之和。
答案：10. 去分母，得$(2x+3)(x+3)=k+2(x-2)(x+3)$，解得$x=\frac{k-21}{7}$.又该分式方程的解满足$-4＜x＜-1$，$x-2\neq0$，$x+3\neq0$，所以$-4＜\frac{k-21}{7}＜-1$，且$\frac{k-21}{7}\neq-3$，解得$-7＜k＜14$且$k\neq0$.又$k$为整数，所以$k=-6$，$-5$，$···$，$-1$，$1$，$···$，$13$，即符合条件的所有$k$的值之和为$-6-5-4-3-2-1+1+2+3+4+···+13=70$.
解析：
解：方程两边同乘$(x - 2)(x + 3)$，得$(2x + 3)(x + 3) = k + 2(x - 2)(x + 3)$，
展开得$2x^2 + 6x + 3x + 9 = k + 2(x^2 + 3x - 2x - 6)$，
化简得$2x^2 + 9x + 9 = k + 2x^2 + 2x - 12$，
移项合并同类项得$7x = k - 21$，解得$x = \frac{k - 21}{7}$。
因为分式方程的解需满足$x - 2 \neq 0$且$x + 3 \neq 0$，即$x \neq 2$且$x \neq -3$，
所以$\frac{k - 21}{7} \neq 2$且$\frac{k - 21}{7} \neq -3$，解得$k \neq 35$且$k \neq 0$。
又因为$-4 ＜ x ＜ -1$，所以$-4 ＜ \frac{k - 21}{7} ＜ -1$，
不等式两边同乘$7$得$-28 ＜ k - 21 ＜ -7$，
移项得$-7 ＜ k ＜ 14$。
综上，$-7 ＜ k ＜ 14$且$k \neq 0$，$k$为整数，
则$k$的值为$-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13$。
这些值之和为$(-6 -5 -4 -3 -2 -1)+(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13)$
$=(-21)+(91)=70$。
70
