1. (教材 P106 习题 1 变式)下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是(
C
)
A.$(x + 1)(x - 1) = x^{2} - 1$
B.$x^{2} - 16 + 6x = (x + 4)(x - 4) + 6x$
C.$10x^{2} - 5x = 5x(2x - 1)$
D.$x^{2} + 1 = x(x + \frac{1}{x})$
答案：1 C
2. 有下列式子：① $x(x - 2y) = x^{2} - 2xy$；② $x^{2} + 2xy + y^{2} = x^{2} + y(2x + y)$；③ $x^{2} + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$；④ $x · x · y = x^{2}y$. 其中是因式分解的是
③
. (填序号)
答案：2 ③
3. (2025·江苏盐城模拟)若多项式 $2x^{2} + mx - 1$ 能分解为 $(2x + 1)(x - 1)$，求 $m$ 的值.
答案：3 由题意，得$2x^{2}+mx - 1=(2x + 1)(x - 1)，$且$(2x + 1)(x - 1)=2x^{2}-x - 1，$则m = - 1。
4. 已知 $(x - 5)(x - 3)$ 是多项式 $x^{2} - px + 15$ 因式分解的结果，则 $p$ 的值为(
C
)
A.2
B.-2
C.8
D.-8
答案：4 C
解析：
$(x - 5)(x - 3) = x^{2} - 3x - 5x + 15 = x^{2} - 8x + 15$，
因为$(x - 5)(x - 3)$是多项式$x^{2} - px + 15$因式分解的结果，
所以$x^{2} - 8x + 15 = x^{2} - px + 15$，
则$-p = -8$，解得$p = 8$。
C
5. 已知多项式 $x^{2} - 4x + m$ 可以因式分解，且其中一个因式是 $x - 6$，则它的另一个因式是(
A
)
A.$x + 2$
B.$x - 2$
C.$x + 3$
D.$x - 3$
答案：5 A
解析：
设另一个因式为$x + a$，则$(x - 6)(x + a) = x^{2} + (a - 6)x - 6a$。
对比$x^{2} - 4x + m$，可得$a - 6 = -4$，解得$a = 2$。
所以另一个因式是$x + 2$。
A
6. 亮点原创 若多项式 $x^{2} + mx - n$($m$，$n$ 都是常数)经过因式分解后含有因式 $x - 2$，则 $2m - n$ 的值为
-4
.
答案：6 -4
解析：
因为多项式$x^{2} + mx - n$含有因式$x - 2$，所以当$x = 2$时，多项式的值为$0$。
将$x = 2$代入多项式可得：$2^{2} + 2m - n = 0$，即$4 + 2m - n = 0$。
移项可得：$2m - n = -4$。
$-4$
7. 新趋势
情境素材 先阅读下面的内容，再解答下列问题：
若一个整式 $A$ 等于整式 $B$ 与整式 $C$ 之积，则称整式 $B$ 和整式 $C$ 为整式 $A$ 的因式. 如：因为 $x^{2} - 4 = (x + 2)(x - 2)$，所以 $x + 2$ 和 $x - 2$ 是 $x^{2} - 4$ 的因式.
若 $x - 2$ 是 $x^{2} + ax - 2$ 的因式，则求常数 $a$ 的值的过程如下：
解：因为 $x - 2$ 是 $x^{2} + ax - 2$ 的因式，所以存在一个整式 $mx + n$，使得 $x^{2} + ax - 2 = (x - 2)(mx + n)$. 又当 $x = 2$ 时，$(x - 2)(mx + n) = 0$，所以此时 $x^{2} + ax - 2 = 0$，即 $4 + 2a - 2 = 0$，解得 $a = -1$. 则常数 $a$ 的值为 $-1$.
(1) $x + 4$
不是
(填“是”或“不是”)$x^{2} - 2x - 8$ 的因式；
(2) 若 $x + 3$ 是 $x^{2} + 8x + m$ 的一个因式，求另一个因式和常数 $m$ 的值.
答案：7 (1) 不是
(2) 因为x + 3是$x^{2}+8x + m$的因式，所以存在一个整式ax + b，使得$x^{2}+8x + m=(x + 3)(ax + b)。$当x = - 3时，(x + 3)(ax + b)=0，所以此时$x^{2}+8x + m=0，$即9 - 24 + m=0，解得m = 15。则原整式化为$x^{2}+8x + 15。$因为$x^{2}+8x + 15=(x + 3)(x + 5)，$所以另一个因式为x + 5。
8. 【问题背景】已知 $x^{2} - 7x + k$ 有一个因式 $x - 3$，求 $k$ 的值. 设另一个因式为 $x + a$，则 $x^{2} - 7x + k = (x - 3)(x + a) = x^{2} + (a - 3)x - 3a$. 所以 $a - 3 =$
-7
，$-3a =$
k
，即 $k =$
12
；
【尝试应用】已知 $3x^{2} + mx - 24$ 有一个因式为 $3x + 4$，则 $m$ 的值为
-14
；
【拓展提升】已知多项式 $x^{3} - 3x^{2} + k$ 有一个因式为 $(x - 2)^{2}$，求 $k$ 的值.
答案：8 【问题背景】 -7 k 12
【尝试应用】 -14
【拓展提升】设多项式$x^{3}-3x^{2}+k$的另一个因式为x + c，则$x^{3}-3x^{2}+k=(x - 2)^{2}(x + c)=x^{3}+(c - 4)x^{2}-(4c - 4)x + 4c。$所以c - 4=-3，4c - 4=0，4c=k，解得c = 1，k = 4。则k的值为4。
