2026年亮点给力提优课时作业本八年级数学下册苏科版第58页解析答案

8. (2025·江苏宿迁期中)如图,在平面直角坐标系中,矩形 $OABC$ 的顶点 $A,C$ 的坐标分别为 $(10,0),(0,4)$,$D$ 是 $OA$ 的中点,点 $P$ 在边 $BC$ 上运动,$Q$ 是坐标平面内的任意一点. 若以 $O,D,P,Q$ 四点为顶点的四边形是边长为 $5$ 的菱形,则点 $Q$ 的坐标为

(-3,4)或(8,4)或(3,4)

答案：8. (-3,4)或(8,4)或(3,4)

解析：

解：
∵矩形$OABC$顶点$A(10,0)$，$C(0,4)$，$D$是$OA$中点，
∴$D(5,0)$，$BC// OA$，点$P$在$BC$上，设$P(m,4)$，$0\leq m\leq10$。
情况1：以$OD$为边
$OD=5$，菱形边长为$5$，则$OP=5$或$PD=5$。
若$OP=5$：$\sqrt{m^2+4^2}=5$，解得$m=3$（$m=-3$舍去），则$P(3,4)$。
此时$Q=P+OD=(3+5,4)=(8,4)$。
若$PD=5$：$\sqrt{(m-5)^2+4^2}=5$，解得$m=8$或$m=2$。
$m=8$时，$P(8,4)$，$Q=P-OD=(8-5,4)=(3,4)$。
$m=2$时，$P(2,4)$，$Q=P-OD=(2-5,4)=(-3,4)$。
情况2：以$OD$为对角线
$OD$中点$(\frac{5}{2},0)$，设$Q(x,y)$，则$\frac{m+x}{2}=\frac{5}{2}$，$\frac{4+y}{2}=0$，得$x=5-m$，$y=-4$。
由菱形边长为$5$，$OP=5$：$\sqrt{m^2+4^2}=5$，$m=3$，则$Q(2,-4)$（不合题意，舍去）。
综上，点$Q$的坐标为$(-3,4)$或$(8,4)$或$(3,4)$。
$(-3,4)$或$(8,4)$或$(3,4)$

9. (1) 如图①,在正方形 $ABCD$ 中,$E,F$ 分别在边 $BC,AB$ 上,$AE,DF$ 相交于点 $O$ 且 $AE⊥ DF$,则 $AE$ 和 $DF$ 之间的数量关系为

AE = DF

;
(2) 如图②,在正方形 $ABCD$ 中,$E,F,G$ 分别是边 $AD,BC,CD$ 上的点,$BG⊥ EF$,垂足为 $H$. 求证:$EF = BG$;
(3) 如图③,在正方形 $ABCD$ 中,$E,F,M$ 分别是边 $AD,BC,AB$ 上的点,$AE = 2$,$BF = 4,BM = 1$,将正方形沿 $EF$ 折叠,点 $M$ 的对应点与边 $CD$ 上的点 $N$ 重合,求 $CN$ 的长.

答案：
9. (1)AE = DF
(2)如图①,过点E作EM⊥BC于点M,则∠EMF = ∠EMB = 90°.因为四边形ABCD是正方形,所以∠A = ∠ABC = ∠C = 90°,AB = BC.所以四边形ABME为矩形,即AB = EM.所以EM = BC.因为BG⊥EF,所以∠BHF = 90°,即
∠CBG + ∠EFM = 90°.又∠MEF + ∠EFM = 90°,所以∠CBG = ∠MEF.所以△BCG≌△EMF (ASA).所以EF = BG.
(3)如图②,连接MN.因为M,N两点关于EF对称,所以MN⊥EF.过点E作EH⊥BC于点H,过点M作MG⊥CD于点G,则∠EHF = ∠EHB = ∠MGC = ∠MGN = 90°.因为四边形ABCD是正方形,所以AB = BC,∠A = ∠B = ∠C = 90°,即BC⊥CD.则EH⊥MG.同(2),得四边形ABHE和四边形BCGM都是矩形,∠GMN = ∠HEF,所以AE = BH,MB = CG,EH = AB = BC = MG,即△EHF≌△MGN (ASA).所以NG = HF.因为AE = 2,BF = 4,所以BH = 2,即NG = HF = BF - BH = 2.又MB = 1,所以CN = NG + CG = NG + MB = 3.
　　　　　

10. 亮点原创·如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AD$ 是角平分线,$AE$ 是中线,$CP⊥ AD$ 于点 $P$,连接 $PE$. 若 $PE = 2$,则 $AB - AC$ 的值为

答案：10. 4

解析：

证明：延长$CP$交$AB$于点$F$。
因为$AD$是角平分线，所以$\angle CAP = \angle FAP$。
因为$CP ⊥ AD$，所以$\angle APC = \angle APF = 90°$。
在$\triangle APC$和$\triangle APF$中，
$\begin{cases} \angle CAP = \angle FAP \\AP = AP \\\angle APC = \angle APF \end{cases}$
所以$\triangle APC \cong \triangle APF(ASA)$，
所以$AC = AF$，$CP = PF$。
因为$AE$是中线，所以$BE = CE$。
所以$PE$是$\triangle CFB$的中位线，
所以$PE = \frac{1}{2}BF$。
因为$PE = 2$，所以$BF = 4$。
因为$AB - AC = AB - AF = BF$，
所以$AB - AC = 4$。
4

11. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ABC = 90^{\circ},BA = BC$,$\triangle BEF$ 为等腰直角三角形,$\angle BEF = 90^{\circ},M$ 为 $AF$ 的中点,连接 $CF,ME$. 求证:$ME = \dfrac{1}{2}CF$.

答案：
11. 如图,延长FE至点N,使EN = EF,连接BN,AN,则E是FN的中点.又M是AF的中点,所以ME = $\frac{1}{2}$AN.因为∠BEF = 90°,所以BE垂直平分FN.所以BF = BN.所以∠BNF = ∠BFN.因为△BEF为等腰直角三角形,∠BEF = 90°,所以∠BFN = 45°.所以∠BNF = 45°.又∠BNF + ∠BFN + ∠FBN = 180°,所以∠FBN = 90°,即∠FBA + ∠ABN = 90°.又∠ABC = 90°,所以∠FBA + ∠CBF = 90°,即∠CBF = ∠ABN.又BA = BC,所以△BCF≌△BAN (SAS).所以CF = AN.所以ME = $\frac{1}{2}$AN = $\frac{1}{2}$CF.
　　　　　　　　

12. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AD// BC$. 如果点 $C$ 沿着 $BC$ 所在直线慢慢向左移动,与点 $B$ 重合后停止移动,那么这个图形的变化过程是 (

)

A.梯形 $\to$ 平行四边形 $\to$ 三角形
B.梯形 $\to$ 三角形 $\to$ 平行四边形 $\to$ 梯形
C.梯形 $\to$ 平行四边形 $\to$ 梯形 $\to$ 三角形
D.无法确定

答案：12. C

13. 如图是一个正方形网格,在网格线的交点处找一个点 $D$,然后连接 $CD$ 和 $DA$,使四边形 $ABCD$ 成为一个梯形,则不同的点 $D$ 一共有

个.

答案：13. 6

解析：

要使四边形$ABCD$为梯形，则需一组对边平行。
情况一：$AB // CD$
$AB$的斜率为$\frac{1-0}{1-0}=1$（设$A(0,0)$，$B(1,1)$，$C(4,1)$）。
直线$CD$斜率为$1$，设$D(x,y)$，则$\frac{y-1}{x-4}=1$，即$y = x - 3$。
网格交点中满足条件的$D$有：$(1, -2)$、$(2, -1)$、$(3, 0)$、$(5, 2)$，共$4$个。
情况二：$AD // BC$
$BC$的斜率为$\frac{1-1}{4-1}=0$（水平直线）。
直线$AD$斜率为$0$，即$AD$为水平直线，$D$纵坐标与$A$相同（设$A$纵坐标为$0$）。
网格交点中满足条件的$D$有：$(2, 0)$、$(3, 0)$，但$(3, 0)$与情况一重复，故新增$1$个（$(2, 0)$）。
情况三：$AC // BD$
$AC$斜率不存在（竖直线），$BD$需为竖直线，$D$横坐标与$B$相同（设$B$横坐标为$1$）。
网格交点中满足条件的$D$有：$(1, 2)$，共$1$个。
总计
不同的点$D$共有$4 + 1 + 1 = 6$个。
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