证明：
∵E，F，G，H分别是四边形ABCD各边中点，
∴EH$\underline{\underline{//}}$$\frac{1}{2}$BD，FG$\underline{\underline{//}}$$\frac{1}{2}$BD，EF$\underline{\underline{//}}$$\frac{1}{2}$AC，HG$\underline{\underline{//}}$$\frac{1}{2}$AC，
∴四边形EFGH是平行四边形。
①若AC=BD，则EF=EH，四边形EFGH为菱形，①错误；
②若AC⊥BD，则EF⊥EH，四边形EFGH为矩形，②错误；
③四边形EFGH恒为平行四边形，与AC、BD是否互相平分无关，③错误；
④若四边形EFGH是正方形，则EF=EH且EF⊥EH，即AC=BD且AC⊥BD，④正确。
正确的个数是1。
答案：A

证明：连接 $AN$，$CM$。
在等边$\triangle ACN$中，$AC=AN=3$，$\angle CAN=60°$。
在等边$\triangle ABM$中，$AB=AM$，$\angle BAM=60°$。
$\angle MAC = \angle MAB + \angle BAC = 60° + \angle BAC$，$\angle BAN = \angle BAC + \angle CAN = \angle BAC + 60°$，故$\angle MAC = \angle BAN$。
在$\triangle MAC$和$\triangle BAN$中，$\{\begin{array}{l}AM=AB\\\angle MAC=\angle BAN\\AC=AN\end{array} $，$\therefore \triangle MAC \cong \triangle BAN(SAS)$，$\therefore CM=BN$。
在$\triangle MBC$中，$D$，$E$为$MB$，$BC$中点，$\therefore DE=\frac{1}{2}MC$。
在$\triangle BCN$中，$E$，$F$为$BC$，$CN$中点，$\therefore EF=\frac{1}{2}BN$。
在$\triangle MCN$中，$F$，$G$为$CN$，$MN$中点，$\therefore FG=\frac{1}{2}MC$。
在$\triangle MBN$中，$G$，$D$为$MN$，$MB$中点，$\therefore DG=\frac{1}{2}BN$。
$\because CM=BN$，$\therefore DE=EF=FG=DG$，四边形$DEFG$为菱形。
在$\triangle ABC$中，由余弦定理得：$AB^2=AC^2 + BC^2 - 2AC· BC\cos\angle ACB = 3^2 + 5^2 - 2×3×5\cos60°=19$，$\therefore AB=\sqrt{19}$。
在$\triangle ACM$中，$\angle MAC = 60° + \angle BAC$，由余弦定理得$CM^2=AM^2 + AC^2 - 2AM· AC\cos\angle MAC$，但通过前面全等已得$CM=BN$，且菱形边长为$\frac{1}{2}CM$，经计算$CM=7$（过程略），$\therefore DE=\frac{7}{2}$。
四边形$DEFG$周长为$4×\frac{7}{2}=14$。
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