9. 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 4$，$BC = 3$，$D$ 为斜边 $AB$ 上一点，以 $CD$，$CB$ 为边作平行四边形 $CDEB$，当 $AD =$
$\frac{7}{5}$
时，平行四边形 $CDEB$ 为菱形。
答案：9.$\frac{7}{5}$
解析：
证明：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=5$。
若平行四边形$CDEB$为菱形，则$CD=CB=3$。
过点$C$作$CH⊥ AB$于点$H$，则$CH=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{4×3}{5}=\frac{12}{5}$。
在$Rt\triangle CHD$中，$DH=\sqrt{CD^2 - CH^2}=\sqrt{3^2 - (\frac{12}{5})^2}=\sqrt{9 - \frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{225 - 144}{25}}=\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$AH=\frac{AC^2}{AB}=\frac{16}{5}$（射影定理）。
则$AD=AH - DH=\frac{16}{5}-\frac{9}{5}=\frac{7}{5}$。
故$AD=\frac{7}{5}$。
10. 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AD$ 是斜边 $BC$ 上的高，$\angle ABC$ 的平分线 $BE$ 交 $AC$ 于点 $E$，交 $AD$ 于点 $F$，过点 $F$ 作 $FG// BD$，交 $AC$ 于点 $G$，过点 $E$ 作 $EH⊥ CD$ 于点 $H$，连接 $FH$。有下列结论：① 四边形 $CHFG$ 是平行四边形；② $AE = CG$；③ $FE = FD$；④ 四边形 $AEHF$ 是菱形。其中，一定正确的是
①②④
。(填序号)
答案：10.①②④
解析：
证明：
① $\because FG // BD$，$EH ⊥ CD$，$AD ⊥ BC$，
$\therefore EH // AD$，即$EH // FG$。
$\because BE$平分$\angle ABC$，$EA ⊥ AB$，$EH ⊥ BC$，
$\therefore AE = EH$。
易证$\angle AFE = \angle AEF$，$\therefore AF = AE = EH$，
$\therefore$四边形$AFHE$是平行四边形，又$AF = AE$，
$\therefore$四边形$AFHE$是菱形，$\therefore FH // AC$，
$\therefore FH // CG$，又$FG // CH$，
$\therefore$四边形$CHFG$是平行四边形。
② 由①知四边形$CHFG$是平行四边形，$\therefore CG = FH$。
$\because$四边形$AFHE$是菱形，$\therefore FH = AE$，
$\therefore AE = CG$。
④ 由①知四边形$AFHE$是菱形。
③ 假设$FE = FD$，则$\triangle FED$为等腰三角形，但无法通过已知条件证明$\angle FED = \angle FDE$，故③不一定成立。
综上，正确的是①②④。
①②④
11. 新趋势
推导探究 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $AB$ 上一点，$DE⊥ AC$ 于点 $E$，$F$ 是 $AD$ 的中点，$FG⊥ BC$ 于点 $G$，交 $DE$ 于点 $H$。若 $AF = FG$，$AG$ 平分 $\angle CAB$，连接 $GE$，$GD$。
(1) 求证：$\triangle ECG\cong\triangle GHD$；
(2) 小亮同学经过探究发现：$AD = AC + EC$，请你帮助小亮同学证明这一结论；
(3) 若 $\angle B = 30^{\circ}$，判断四边形 $AEGF$ 是否为菱形，并说明理由。
答案：11.(1)因为AF = FG，所以∠FAG = ∠FGA.因为AG平分∠CAB，所以∠CAG = ∠FAG.所以∠CAG = ∠FGA.所以AC//FG.所以∠EHG = ∠AED，∠DHG = ∠CEH.因为DE⊥AC，所以∠EHG = ∠DHG = ∠AED = ∠CEH = 90°.因为FG⊥BC，所以∠CGH = 90°.所以四边形CEHG是矩形.所以∠C = ∠DHG = 90°，EC = GH，EH//CG，即DE//BC.连接EF.因为F是AD的中点，所以EF = FD.又FG⊥BC，所以FG⊥DE.所以FG垂直平分DE.所以GE = DG.所以Rt△ECG≌Rt△GHD(HL).
(2)过点G作GP⊥AB于点P.由(1)，得∠C = 90°，GE = DG，所以GC⊥AC.因为AG平分∠CAB，所以CG = PG.所以Rt△ECG≌Rt△DPG(HL).所以EC = DP.又AG = AG，所以Rt△CAG≌Rt△PAG(HL).所以AC = AP.所以AD = AP + DP = AC + EC.
(3)四边形AEGF是菱形.理由如下：由(1)，得四边形CEHG是矩形，AC//FG.所以EH//CG，即ED//BC.所以∠ADE = ∠B.又∠B = 30°，所以∠ADE = 30°.又DE⊥AC，所以AE = $\frac{1}{2}$AD.因为F是AD的中点，所以AF = $\frac{1}{2}$AD.又AF = FG，所以AE = AF = FG.所以四边形AEGF是菱形.
12. 如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$E$，$F$ 两点分别在线段 $OC$，$OA$ 上，且 $AF = CE$，过点 $E$ 作 $CD$ 的垂线，与边 $CD$ 交于点 $G$，连接 $DE$，$DF$。若 $AC = 8$，$BD = 6$，则当 $DE =$
$\frac{15}{4}$
时，$EG + DF$ 取最小值，且最小值为
$\frac{24}{5}$
。
答案：12.$\frac{15}{4}$ $\frac{24}{5}$ 解析：如图，连接BE，BF，BG.因为四边形ABCD是菱形，AC = 8，BD = 6，所以AC⊥BD，OA = OC = $\frac{1}{2}$AC = 4，OB = OD = $\frac{1}{2}$BD = 3.因为AF = CE，所以OA - AF = OC - CE，即OF = OE.所以四边形BEDF是菱形.所以DE = BE = DF.所以EG + DF = EG + BE⩾BG，即当B，E，G三点在一条直线上，且BG⊥CD时，EG + DF取最小值，且最小值为BG的长.在Rt△COD中，由勾股定理，得CD = $\sqrt{OC^{2}+OD^{2}}$ = 5.此时$S_{菱形ABCD}$ = $\frac{1}{2}$AC·BD = CD·BG，所以BG = $\frac{AC·BD}{2CD}$ = $\frac{24}{5}$.在Rt△BDG中，由勾股定理，得DG = $\sqrt{BD^{2}-BG^{2}}$ = $\frac{18}{5}$.设DE = x，则GE = $\frac{24}{5}$ - x.同理，得DG² + GE² = DE²，所以$(\frac{18}{5})^{2}+(\frac{24}{5}-x)^{2}$ = x²，解得x = $\frac{15}{4}$.所以当DE = $\frac{15}{4}$时，EG + DF取最小值，且最小值为$\frac{24}{5}$.
13. 新趋势
综合实践 如图①，在矩形纸片 $ABCD$ 中，$AB = 6$，$AD = 10$，折叠纸片使点 $B$ 落在边 $AD$ 上的点 $E$ 处，折痕为 $PQ$。过点 $E$ 作 $EF// AB$ 交 $PQ$ 于点 $F$，连接 $BF$。
(1) 求证：四边形 $PBFE$ 为菱形；
(2) 当点 $E$ 在边 $AD$ 上移动时，折痕的端点 $P$，$Q$ 也随之移动。
① 当点 $Q$ 与点 $C$ 重合时（如图②），求菱形 $PBFE$ 的边长；
② 若限定 $P$，$Q$ 两点分别在边 $BA$，$BC$ 上移动，求出菱形 $PBFE$ 面积的最大值和最小值。
答案：13.(1)因为折叠纸片使点B落在边AD上的点E处，折痕为PQ，所以点B与点E关于直线PQ对称.所以PB = PE，BF = EF，∠BPF = ∠EPF.又EF//AB，所以∠BPF = ∠EFP，即∠EPF = ∠EFP.所以PE = EF.所以PB = BF = EF = PE.所以四边形PBFE为菱形.
(2)①因为四边形ABCD是矩形，AB = 6，AD = 10，所以BC = AD = 10，CD = AB = 6，∠A = ∠D = 90°.由折叠的性质，得CE = BC = 10，PB = PE.在Rt△CDE中，由勾股定理，得DE = $\sqrt{CE^{2}-CD^{2}}$ = 8，所以AE = AD - DE = 2.在Rt△APE中，AP = AB - PB = 6 - PE，由勾股定理，得PE² = AE² + AP²，所以PE² = 2² + (6 - PE)²，解得PE = $\frac{10}{3}$.所以菱形PBFE的边长为$\frac{10}{3}$.
②设AE = x，PB = PE = y，则AP = 6 - y.由(2)①，得点Q与点C重合时，AE的长取最小值，且最小值为2.易得当点P与点A重合时，AE的长取最大值，且最大值为6.所以2⩽x⩽6.在Rt△APE中，由勾股定理，得PE² = AE² + AP²，所以y² = x² + (6 - y)²，即y = $\frac{x^{2}}{12}$ + 3.所以$S_{菱形PBFE}$ = xy = $\frac{x^{3}}{12}$ + 3x.显然x越大，$S_{菱形PBFE}$越大.所以当x = 6时，$S_{菱形PBFE}$取最大值，且最大值为36；当x = 2时，$S_{菱形PBFE}$取最小值，且最小值为$\frac{20}{3}$.
