1. (2025·江苏常州)如图，在菱形ABCD中，AC，BD是对角线，AB=5.若∠ABD=30°，则AC的长是(
B
)
A.4
B.5
C.6
D.10
答案：1.B
解析：
证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=AD=5。
∵∠ABD=30°，
∴在Rt△AOB中，∠OAB=60°，
∴OA=AB·sin30°=5×$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴AC=2OA=5。
答案：B
2. 已知E是菱形ABCD的边BC上一点，连接AE，DE.若∠DAE=∠B=70°，则∠CDE的度数为(
C
)
A.25°
B.20°
C.15°
D.10°
答案：2.C
解析：
∵四边形ABCD是菱形，∠B=70°，
∴AD//BC，AB=AD=CD，∠ADC=∠B=70°，∠C=180°-∠B=110°，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠DAE=70°，
∵∠B=70°，
∴∠BAE=180°-∠B-∠AEB=40°，
∵∠BAD=180°-∠B=110°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=70°，
∵AD=AB，
∴∠ADE=∠AED=(180°-∠DAE)/2=55°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=70°-55°=15°。
答案：C
3. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，边AB在x轴上.若点C的坐标为(5,4)，则点B的坐标为
(2,0)
。
答案：3.(2,0)
解析：
解：
∵菱形ABCD的顶点D在y轴上，边AB在x轴上，点C的坐标为(5,4)，
∴CD=AB，CD//AB，
∵D在y轴上，
∴D点坐标为(0,4)，
∴CD=5-0=5，
∴AB=5，
设点B的坐标为(x,0)，点A的坐标为(a,0)，
∵AB=5，
∴x-a=5，
∵AD=CD=5，D(0,4)，A(a,0)，
∴AD²=a²+4²=5²，
解得a=-3（a=3舍去，因为A在x轴负半轴），
∴x=5+a=5+(-3)=2，
∴点B的坐标为(2,0)。
(2,0)
4. (教材P85习题8变式)亮点原创·如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H.若AC=6，BD=8，则AH=
4.8
。
答案：4.4.8
解析：
解：
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴AC⊥BD，AO=OC=3，BO=OD=4，
∴BC=$\sqrt{BO^2 + CO^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=5$，
∵S_{菱形ABCD}=$\frac{1}{2}AC· BD=BC· AH$，
∴$\frac{1}{2}×6×8=5AH$，
解得AH=$\frac{24}{5}=4.8$。
5. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=40°，E为对角线BD上一点，F为边AD上一点，连接AE，CE，FE.若AE=FE，∠BEC=58°，则∠AFE的度数为
38°
。
答案：5.38°
解析：
证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，∠ABD=∠CBD=∠ABC/2=20°，AD//BC，
∵BD=BD，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠BAE=∠BCE，
∵AE=FE，
∴∠EAF=∠EFA，
设∠AFE=x，则∠EAF=x，∠BAE=∠BAD-∠EAF=140°-x，
∴∠BCE=140°-x，
在△BEC中，∠BCE=180°-∠BEC-∠CBE=180°-58°-20°=102°，
∴140°-x=102°，
解得x=38°，
即∠AFE=38°。
38°
6. (2025·四川泸州)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE=CF.求证：AF=CE.
答案：6.因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC.又AE=CF，所以AB - AE=BC - CF，即BE=BF.又∠B=∠B，所以△ABF≌△CBE(SAS).所以AF=CE.
解析：
证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠B=∠B。
∵AE=CF，
∴AB - AE=BC - CF，即BE=BF。
在△ABF和△CBE中，
$\{\begin{array}{l} AB=CB \\ ∠B=∠B \\ BF=BE \end{array} $
∴△ABF≌△CBE(SAS)。
∴AF=CE。
7. 如图，在菱形ABCD和菱形EFGH中，∠A=∠E，它们的面积分别为9cm²和64cm²，CD落在EF上，连接BD，BF，DH，BH.若△BCF的面积为4cm²，则△BDH的面积为(
B
)
A.8cm²
B.8.5cm²
C.9cm²
D.9.5cm²
答案：7.B
易错警示
熟练掌握利用平行线确定两个三角形面积相等，不能证明两直线平行是造成错误的原因.
8. 新素养
几何直观(2024·甘肃白银改编)如图①，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图②所示，则当点P运动到BC中点时，PO的长为(
C
)
A.2
B.3
C.$\frac{5}{2}$
D.$\sqrt{10}$
答案：8.C
解析：
解：设菱形边长为 $a$，$AO=m$，$BO=n$。
当 $P$ 在 $A$ 点时，$x=0$，$y=AO=m=\sqrt{20}$，即 $m=2\sqrt{5}$。
当 $P$ 在 $B$ 点时，$x=a$，$y=BO=n=\sqrt{5}$，即 $n=\sqrt{5}$。
在菱形中，$AC ⊥ BD$，由勾股定理得 $a^2 = m^2 + n^2 = (2\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 20 + 5 = 25$，故 $a=5$。
当 $P$ 为 $BC$ 中点时，$BP=\frac{a}{2}=\frac{5}{2}$，$PC=\frac{5}{2}$，$x = a + \frac{a}{2} = \frac{3a}{2}=\frac{15}{2}$。
设 $O$ 为 $AC$ 中点，$P$ 为 $BC$ 中点，由中位线定理，$PO=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}=\frac{5}{2}$。
答案：$\frac{5}{2}$
