9. 已知平面直角坐标系中的四点$A(0,0)$，$B(4,0)$，$C(4,2)$，$D(0,2)$，直线$y=mx-m+2$将四边形$ABCD$分成面积相等的两部分，则$m$的值为
-1
.
答案：9. -1
解析：
解：由题意得，四边形$ABCD$是矩形，其中心坐标为$(2,1)$。
直线$y=mx - m + 2$可化为$y = m(x - 1) + 2$，过定点$(1,2)$。
因为直线将矩形面积平分，所以必过矩形中心$(2,1)$，代入得：
$1 = 2m - m + 2$
解得$m=-1$
$-1$
10. 新素养
抽象能力 某数学兴趣小组的同学将一张三角形纸片(如图)进行如下操作，并进行猜想和证明.
(1) 用三角板分别取$AB$，$AC$的中点$D$，$E$，连接$DE$，画$AF⊥DE$于点$F$；
(2) 用(1)中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形(无缝隙无重叠)，并用三角板画出示意图；
(3) 请判断(2)中所拼的四边形的形状，并说明理由.
答案：10. (1) 如图①所示：
(2) 答案不唯一，如图②所示：
(3) 矩形. 理由如下：如图③，由题意，得 BM = CN = AF，∠BDM = ∠ADE，∠CEN = ∠AED，∠AFD = ∠M，∠AFE = ∠N. 又 ∠ADE + ∠BDE = ∠AED + ∠DEC = 180°，所以 ∠MDB + ∠BDE = 180°，∠DEC + ∠CEN = 180°，即 M，D，E，N 四点在一条直线上. 因为 AF ⊥ DE，所以 ∠AFD = ∠AFE = 90°，即 ∠M = ∠N = 90°. 所以 ∠M + ∠N = 180°，即 BM // CN. 所以四边形 MBCN 为平行四边形，即四边形 MBCN 为矩形.（答案不唯一，与(2)中图形对应即可）
11. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，直线$GH$经过点$O$，与$BA$，$DC$的延长线分别交于$G$，$H$两点，与$AD$，$CB$分别交于$E$，$F$两点.
(1) 求证：$\triangle BOG≌\triangle DOH$；
(2) 连接$AH$，$CG$，$DG$. 若$GH=GD$，则当点$C$位于$DH$的什么位置时，四边形$AHCG$是矩形? 请说明理由.
答案：11. (1) 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 OB = OD，AB = CD，AB // CD，即 BG // DH. 所以 ∠BGO = ∠DHO. 又 ∠BOG = ∠DOH，所以 △BOG ≅ △DOH(AAS).
(2) 当点 C 位于 DH 的中点时，四边形 AHCG 是矩形. 理由如下：由(1)，得 AB = CD，BG // DH，△BOG ≅ △DOH，所以 BG = DH. 所以 BG - AB = DH - CD，即 AG = CH. 所以四边形 AHCG 是平行四边形. 要使平行四边形 AHCG 是矩形，则 ∠GCH = 90°，即 GC ⊥ DH. 又 GH = GD，所以 CH = CD，即 C 为 DH 的中点.
12. 新素养 运算
能力 如图，在$\triangle ABC$中，$AB=6$，$AC=8$，$BC=10$，$P$为边$BC$上一动点(且点$P$不与$B$，$C$两点重合)，$PE⊥AB$于点$E$，$PF⊥AC$于点$F$，连接$EF$，$M$为$EF$的中点，连接$AM$. 设$AM$的长为$x$，则$x$的取值范围为
2.4 ≤ x ＜ 4
.
答案：12. 2.4 ≤ x ＜ 4 解析：连接 AP. 因为 AB = 6，AC = 8，BC = 10，所以 AB² + AC² = 100 = BC². 所以 ∠BAC = 90°. 因为 PE ⊥ AB，PF ⊥ AC，所以 ∠AEP = ∠AFP = 90°. 所以四边形 AEPF 是矩形. 所以 AP = EF. 因为 M 为 EF 的中点，所以 AM = $\frac{1}{2}$EF = $\frac{1}{2}$AP. 当 AP ⊥ BC 时，AP 的长最小，即 AM 的长最小. 此时 S△BAC = $\frac{1}{2}$AB · AC = $\frac{1}{2}$BC · AP，解得 AP = 4.8. 所以 AP ≥ 4.8. 所以 2AM ≥ 4.8，解得 AM ≥ 2.4，即 x ≥ 2.4；当点 P 和点 C 重合时，AM = 4；当点 P 和点 B 重合时，AM = 3. 因为点 P 和 B，C 两点不重合，所以 x ＜ 4. 所以 x 的取值范围为 2.4 ≤ x ＜ 4.
解析：
证明：连接 $AP$。
因为 $AB=6$，$AC=8$，$BC=10$，所以 $AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 = BC^2$，故 $\angle BAC = 90°$。
因为 $PE ⊥ AB$，$PF ⊥ AC$，所以 $\angle AEP = \angle AFP = 90°$，则四边形 $AEPF$ 是矩形，因此 $AP = EF$。
因为 $M$ 为 $EF$ 的中点，所以 $AM = \frac{1}{2}EF = \frac{1}{2}AP$。
当 $AP ⊥ BC$ 时，$AP$ 最小。此时 $S_{\triangle BAC} = \frac{1}{2}AB · AC = \frac{1}{2}BC · AP$，即 $\frac{1}{2} × 6 × 8 = \frac{1}{2} × 10 × AP$，解得 $AP = 4.8$，故 $AM = \frac{1}{2} × 4.8 = 2.4$，即 $x \geq 2.4$。
当点 $P$ 与点 $C$ 重合时，$AP = AC = 8$，$AM = \frac{1}{2} × 8 = 4$；当点 $P$ 与点 $B$ 重合时，$AP = AB = 6$，$AM = \frac{1}{2} × 6 = 3$。因为点 $P$ 不与 $B$，$C$ 重合，所以 $x ＜ 4$。
综上，$x$ 的取值范围为 $2.4 \leq x ＜ 4$。
13. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB=3$，$BC=4$，$E$，$F$是对角线$AC$上的两个动点，分别从$A$，$C$两点同时出发相向而行，速度均为每秒$1$个单位长度，运动时间为$t\ \mathrm{s}$，$0\leqslant t\leqslant5$.
(1) $AE=$
t
，$EF=$
(5 - 2t)(0 ≤ t ≤ 2.5)或(2t - 5)(2.5 ＜ t ≤ 5)
(用含$t$的代数式表示)；
(2) 若$G$，$H$分别是$AB$，$DC$的中点，连接$GE$，$GF$，$FH$，$HE$，求证：四边形$EGFH$是平行四边形；
(3) 在(2)的条件下，当$t$为何值时，四边形$EGFH$为矩形?
答案：13. (1) t (5 - 2t)(0 ≤ t ≤ 2.5)或(2t - 5)(2.5 ＜ t ≤ 5) 解析：因为四边形 ABCD 是矩形，所以 ∠B = 90°. 在 Rt△ABC 中，AB = 3，BC = 4，由勾股定理，得 AC = $\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$ = 5. 由题意，得 AE = CF = t. 当 E，F 两点相遇时，AE + CF = AC，所以 2t = 5，解得 t = 2.5. 分类讨论如下：当 0 ≤ t ≤ 2.5 时，EF = AC - AE - CF = 5 - 2t；当 2.5 ＜ t ≤ 5 时，EF = AE + CF - AC = 2t - 5.
(2) 因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AB = CD，AB // CD，即 ∠GAF = ∠HCE. 因为 G，H 分别是 AB，DC 的中点，所以 AG = $\frac{1}{2}$AB，CH = $\frac{1}{2}$CD，即 AG = CH. 因为 AE = CF，所以 AE + EF = CF + EF（或 AE - EF = CF - EF），即 AF = CE. 所以 △AFG ≅ △CEH(SAS). 所以 ∠AFG = ∠CEH，GF = HE. 所以 GF // HE. 所以四边形 EGFH 是平行四边形.
(3) 如图，连接 GH. 由(1)(2)，得四边形 EGFH 是平行四边形，EF = 5 - 2t 或 2t - 5. 因为 G，H 分别是矩形 ABCD 的边 AB，DC 的中点，所以易得 GH = BC = 4. 要使平行四边形 EGFH 是矩形，则 EF = GH = 4. 分类讨论如下：① 当 0 ≤ t ≤ 2.5 时，EF = 5 - 2t，所以 5 - 2t = 4，解得 t = 0.5；② 当 2.5 ＜ t ≤ 5 时，EF = 2t - 5，所以 2t - 5 = 4，解得 t = 4.5. 综上，当 t = 0.5 或 4.5 时，四边形 EGFH 为矩形.
