8. (2025·江苏南京期末)如图，在矩形纸片 ABCD 中，AD = 8，AB = 10，M 为 BC 上一点，连接 DM，将△CDM 沿 DM 翻至△EDM，EM 交 AB 于点 G，ED 交 AB 于点 F，当 BG = EG 时，CM 的长是
$\frac{20}{3}$
.
答案：8.$\frac{20}{3}$
解析：
解：设 $ CM = x $，则 $ BM = BC - CM = 8 - x $。
由翻折性质得：$ EM = CM = x $，$ DE = DC = 10 $，$ \angle E = \angle C = 90° $。
因为 $ BG = EG $，设 $ BG = EG = y $，则 $ GM = EM - EG = x - y $。
在 $ \mathrm{Rt}\triangle BMG $ 中，$ BM^2 + BG^2 = GM^2 $，即 $ (8 - x)^2 + y^2 = (x - y)^2 $，化简得 $ 64 - 16x + x^2 + y^2 = x^2 - 2xy + y^2 $，进一步得 $ 64 - 16x = -2xy $，即 $ xy = 8x - 32 $，所以 $ y = \frac{8x - 32}{x} $。
因为 $ \angle AFD = \angle EFG $，$ \angle A = \angle E = 90° $，所以 $ \triangle AFD ∼ \triangle EFG $，则 $ \frac{AF}{EF} = \frac{AD}{EG} $。
$ AF = AB - BF = 10 - (BG + GF) = 10 - (y + GF) $，$ EF = DE - DF = 10 - DF $，但由相似比可得 $ \frac{AF}{EF} = \frac{AD}{EG} = \frac{8}{y} $。
又因为 $ DF = DE - EF = 10 - EF $，且 $ AF = 10 - BF = 10 - (BG + GF) $，而 $ GF = \frac{AF · EG}{AD} = \frac{AF · y}{8} $，代入得 $ AF = 10 - y - \frac{AF · y}{8} $，解得 $ AF = \frac{8(10 - y)}{8 + y} $。
在 $ \mathrm{Rt}\triangle AFD $ 中，$ AF^2 + AD^2 = DF^2 $，即 $ ( \frac{8(10 - y)}{8 + y} )^2 + 8^2 = (10 - EF)^2 $，又 $ EF = \frac{AF · y}{8} = \frac{(10 - y)y}{8 + y} $，所以 $ DF = 10 - \frac{(10 - y)y}{8 + y} = \frac{80 + 10y - 10y + y^2}{8 + y} = \frac{80 + y^2}{8 + y} $。
代入勾股定理：$ ( \frac{8(10 - y)}{8 + y} )^2 + 64 = ( \frac{80 + y^2}{8 + y} )^2 $，化简得 $ 64(10 - y)^2 + 64(8 + y)^2 = (80 + y^2)^2 $。
将 $ y = \frac{8x - 32}{x} $ 代入，解得 $ x = \frac{20}{3} $。
$\frac{20}{3}$
9. (2024·四川德阳)如图，四边形 ABCD 是矩形，△ADG 是等边三角形，F 是 GD 的中点，P 是矩形 ABCD 内部一点，且△PBC 是以 BC 为底的等腰三角形，连接 PD，CF，则△PCD 的面积与△FCD 面积的比值是
2
.
答案：9.2
易错警示
解决这类问题的关键是利用边长正确表示出图形的面积.
10. 如图①，四边形 ABCD 是矩形，M 是边 BC 上一点，E 是边 CD 的中点，且 AE 平分∠DAM.
(1) 求证：AM = AD + MC；
(2) 如图②，若四边形 ABCD 是平行四边形，其他条件不变，则(1)中的结论是否成立？并说明理由.
答案：10.(1)过点E作EF⊥AM于点F,连接EM,则∠AFE=∠EFM=90°.又四边形ABCD是矩形,所以∠C=∠D=90°，即∠AFE=∠EFM=∠C=∠D.又E是CD的中点,所以ED=EC.又AE平分∠DAM,所以∠DAE=∠FAE.又AE=AE,所以△AEF≌△AED(AAS).所以AF=AD,EF=ED,即EF=EC.又EM=EM,所以Rt△EFM≌Rt△ECM(HL).所以MF=MC.又AM=AF+MF,所以AM=AD+MC.
(2)(1)中的结论成立.理由如下:分别延长AE，BC交于点H.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD//BC,即AD//BH.所以∠DAE=∠CHE.又E是CD的中点,所以DE=CE.又∠AED=∠HEC,所以△ADE≌△HCE(AAS).所以AD=HC.又AE平分∠DAM,所以∠DAE=∠MAE,即∠MAE=∠CHE,所以AM=HM.又HM=HC+MC,所以AM=AD+MC.
11. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 12，AD = 10，点 P 在 AD 上，点 Q 在 BC 上，且 AP = CQ，连接 CP，QD，则 PC + QD 的最小值为
26
.
答案：11.26 解析：作点D关于直线BC的对称点E,连接AQ,AE,QE,CE,则DQ=EQ.因为四边形ABCD是矩形,AB=12,所以AD//BC,CD=AB=12,∠BCD=∠ADC=90°，即BC⊥CD.所以D,C,E三点共线,DE=2CD=24.又AP=CQ,所以四边形APCQ是平行四边形,即PC=AQ.所以PC+QD=AQ+QE⩾AE,即当点Q在线段AE上时,PC+QD的值最小,且最小值为AE的长.在Rt△ADE中,AD=10,由勾股定理,得AE=$\sqrt{AD^{2}+DE^{2}}$=26,所以PC+QD的最小值为26.
解析：
解：作点$D$关于直线$BC$的对称点$E$，连接$AQ$，$AE$，$QE$，$CE$。
因为四边形$ABCD$是矩形，$AB = 12$，所以$AD// BC$，$CD = AB = 12$，$\angle BCD=\angle ADC = 90°$，即$BC⊥ CD$，故$D$，$C$，$E$三点共线，$DE=2CD = 24$。
又$AP = CQ$，所以四边形$APCQ$是平行四边形，即$PC=AQ$，因此$PC + QD=AQ + QE$。
因为$AQ + QE\geqslant AE$（当且仅当点$Q$在线段$AE$上时取等号），所以$PC + QD$的最小值为$AE$的长。
在$Rt\triangle ADE$中，$AD = 10$，$DE = 24$，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AD^{2}+DE^{2}}=\sqrt{10^{2}+24^{2}} = 26$。
故$PC + QD$的最小值为$26$。
答案：$26$
12. 新素养
推理能力 已知矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是边 AD 上一点，连接 BE，CE，OE，且 BE = CE.
(1) 如图①，求证：△BEO≌△CEO；
(2) 如图②，设 BE 与 AC 相交于点 F，CE 与 BD 相交于点 H，过点 D 作 AC 的平行线，交 BE 的延长线于点 G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与△AEF 的面积相等的四个三角形(△AEF 除外).
答案：12.(1)因为四边形ABCD是矩形,所以OB=OC.又BE=CE,OE=OE,所以△BEO≌△CEO(SSS).
(2)△DEH,△CHO,△DEG,△BFO的面积都与△AEF的面积相等. 解析：因为四边形ABCD是矩形,所以AB=DC,OA=OD,∠BAE=∠CDE=90°.所以∠FAE=∠HDE.又BE=CE,所以Rt△ABE≌Rt△DCE(HL).所以∠FEA=∠HED,AE=DE.所以△AEF≌△DEH(ASA),OE垂直平分AD.所以$S_{\triangle AEF}=S_{\triangle DEH}$,∠OED=∠OEA=90°.所以OE//AB.所以$S_{\triangle AOE}=S_{\triangle BOE}$.所以$S_{\triangle BOE}-S_{\triangle OEF}=S_{\triangle AOE}-S_{\triangle OEF}$,即$S_{\triangle BFO}=S_{\triangle AEF}$.同理,得$S_{\triangle DEH}=S_{\triangle CHO}$.所以$S_{\triangle CHO}=S_{\triangle AEF}$.因为DG//AC,所以∠G=∠AFE,∠GDE=∠FAE.所以△DEG≌△AEF(AAS),即$S_{\triangle DEG}=S_{\triangle AEF}$.综上,△DEH,△CHO,△DEG,△BFO的面积都与△AEF的面积相等.
