1. (2025·湖北武汉)掷两个质地均匀的小正方体,且小正方体的六个面上分别标有1到6的数字,则下列事件是必然事件的是 (
B
)
A.向上两面的数字之和为5
B.向上两面的数字之和大于1
C.向上两面的数字之和大于12
D.向上两面的数字之和为偶数
答案：1. B
2. 新素养抽象能力对任意的三个非零整数,下列说法正确的是 (
C
)
A.它们的和是偶数比它们的和是奇数的概率小
B.它们的和是奇数比它们的和是偶数的概率小
C.其中任意两个整数的和是奇数比其中任意两个整数的和是偶数的概率小
D.其中任意两个整数的和是偶数比其中任意两个整数的和是奇数的概率小
答案：2. C
3. 新趋势传统文化我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”计算圆周率.随着时代发展,现在人们依据频率估计概率这一原理,常用随机模拟的方法对圆周率π进行估计.用计算机随机产生m个有序数对$(x,y)$(x,y是实数,且$0≤$$x≤1,0≤y≤1)$,它们对应的点在平面直角坐标系中某一个正方形的边界及其内部.如果统计出这些点中到原点的距离小于或等于1的点有n个,那么据此可估计π的值为
$\frac{4n}{m}$
.
答案：$3. \frac{4n}{m}$
4. (2025·江苏宿迁模拟)一个不透明的盒子里装有红球、蓝球和黄球共120个,这些球除颜色外其他都相同.每次摸球前先将盒子里的球搅匀,再从中任意摸出一个球,记下颜色后放回盒子.通过大量重复摸球试验后发现,摸到蓝球、黄球的频率分别稳定在30%,35%附近,则估计盒子里红球的个数为
42
.
答案：4. 42
解析：
摸到红球的频率为 $1 - 30\% - 35\% = 35\%$，红球个数为 $120 × 35\% = 42$。
5. 甲、乙两人玩一种游戏:共20张牌(每张牌除牌面所写数不同外其余都相同),牌面上分别写有-10,-9,-8,…,-1,1,2,…,10,洗好牌后背面朝上放于桌上,每人从中任意抽取3张,然后将牌面上的三个数相乘,结果较大者为胜.
(1)你认为抽取到哪三张牌时,不管对方抽到其他怎样的三张,你都会赢?写出一种即可;
(2)你认为抽取到哪三张牌时,不管对方抽到其他怎样的三张,你都会输?写出一种即可;
(3)结果等于6有几种可能?把每一种都写出来.
答案：5. (1)答案不唯一，如：当抽到－10，－9，10这三张牌时，不管对方抽到其他怎样的三张牌，都会赢.
(2)答案不唯一，如：当抽到－10，9，10这三张牌时，不管对方抽到其他怎样的三张牌，都会输.
(3)结果等于6有5种可能，分别为1×2×3，1×(－2)×(－3)，1×(－1)×(－6)，(－1)×(－2)×3，(－1)×(－3)×2.
6. (1)小红和小明在操场做游戏,他们分别在地上画了周长为4米的圆和正方形(如图①),蒙上眼在一定距离外向圆和正方形内投小石子,谁投进的次数多谁就胜,你认为游戏规则对双方公平吗?为什么? (π取3.14)
(2)如图②是一个不规则的图形,你能否用频率估计概率的方法,来估算这个不规则图形的面积呢?请你设计方案,解决这一问题(要求写出方案的步骤).
答案：6. (1)游戏规则对双方不公平.理由如下：设圆的半径为r米.因为$C_{圆}=4$米，所以$2\pi r=4，$解得$r=\frac{2}{\pi}.$
所以$S_{圆}=\pi r^{2}=\pi(\frac{2}{\pi})^{2}=\frac{4}{\pi}\approx1.27($平方米).因为$C_{正方形}=4$米，所以正方形的边长为1米.所以$S_{正方形}=1$平方米.因为$S_{圆}＞S_{正方形}，$所以小石子落入圆内的概率大于落入正方形内的概率.所以该游戏规则对双方不公平.
(2)能.方案的步骤如下：①画一个正方形，使该不规则图形在所画正方形内，设正方形的面积为S；
②蒙上眼睛向正方形内掷小石子(掷在边界上或正方形外不记录)；③记录并统计结果，设掷入正方形内m次，其中n次掷入不规则图形内(掷的次数足够多)；④设不规则图形的面积为S'，则$S'=\frac{n}{m}S.($答案不唯一，合理即可)
