1. (2024·灌南期中)观察等式：$2 + 2^{2} = 2^{3} - 2$；$2 + 2^{2} + 2^{3} = 2^{4} - 2$；$2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} = 2^{5} - 2$……已知按一定规律排列的一组数：$2^{100}$，$2^{101}$，$2^{102}$，…，$2^{199}$，$2^{200}$，若$2^{100} = S$，用含$S$的式子表示这组数据的和是(
)
A.$2S^{2} - S$
B.$2S^{2} + S$
C.$2S^{2} - 2S$
D.$2S^{2} - 2S - 2$
答案：A
解析：
设这组数的和为$C$，则$C = 2^{100} + 2^{101} + ··· + 2^{200}$。
已知$2^{100} = S$，则$2^{101} = 2S$，$2^{102} = 2^2S$，$···$，$2^{200} = 2^{100}S = S^2$。
这是首项为$S$，公比为$2$，项数为$101$的等比数列。
由等比数列求和公式$C = S\frac{2^{101} - 1}{2 - 1} = S(2^{101} - 1)$。
因为$2^{101} = 2 × 2^{100} = 2S$，所以$C = S(2S - 1) = 2S^2 - S$。
2. (2024·东台期末)如图①是一张足够长的纸条，其中$PN // QM$，点$A$，$B$分别在$PN$，$QM$上，记$∠ ABM = α(0^{\circ} ＜ α ＜ 90^{\circ})$。如图②，将纸条折叠，使$BM$与$BA$重合，得折痕$BR_{1}$；如图③，将纸条展开后再折叠，使$BM$与$BR_{1}$重合，得折痕$BR_{2}$；将纸条展开后继续折叠，使$BM$与$BR_{2}$重合，得折痕$BR_{3}$；……；依此类推，第$n$次折叠后，$∠ AR_{n}N =$
。(用含$α$和$n$的代数式表示)
答案：α/(2ⁿ)
解析：
因为PN//QM，∠ABM=α。第一次折叠使BM与BA重合，折痕BR₁平分∠ABM，故∠R₁BM=α/2；第二次折叠使BM与BR₁重合，折痕BR₂平分∠R₁BM，故∠R₂BM=α/4；依此类推，第n次折叠后，∠RₙBM=α/(2ⁿ)。由于PN//QM，内错角相等，所以∠ARₙN=∠RₙBM=α/(2ⁿ)。
3. (2024·沛县期末)(1)如图①，已知$△ ABC$，试说明：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180^{\circ}$；
(2)如图②，已知$AE // CD$，试说明：$∠ A + ∠ C = ∠ B$；
(3)如图③，已知$AE // CD$，$AF$平分$∠ BAE$，$CF$平分$∠ BCD$，若$∠ ABC = 100^{\circ}$，求$∠ AFC$的度数；
(4)如图④，已知$AE // CD$，$AF_{1}$平分$∠ BAE$，$CF_{1}$平分$∠ BCD$，$AF_{2}$平分$∠ EAF_{1}$，$CF_{2}$平分$∠ DCF_{1}$，$AF_{3}$平分$∠ EAF_{2}$，$CF_{3}$平分$∠ DCF_{2}$……若$∠ ABC = x^{\circ}$，则$∠ F_{n}$的度数为
。(用含$x$的代数式表示)
答案：(1) 过点A作EF//BC，∵EF//BC，∴∠B=∠EAB，∠C=∠FAC（两直线平行，内错角相等）。∵∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°（平角定义），∴∠A+∠B+∠C=180°。
(2) 过点B作BF//AE，∵AE//CD，∴BF//CD。∵BF//AE，∴∠A=∠ABF；∵BF//CD，∴∠C=∠CBF（两直线平行，内错角相等）。∴∠ABF+∠CBF=∠A+∠C，即∠B=∠A+∠C。
(3) 设∠BAF=∠EAF=α，∠BCF=∠DCF=β，则∠BAE=2α，∠BCD=2β。由(2)得∠BAE+∠BCD=∠ABC=100°，即2α+2β=100°，∴α+β=50°。过F作FG//AE//CD，∴∠AFG=∠EAF=α，∠CFG=∠DCF=β（两直线平行，内错角相等）。∴∠AFC=α+β=50°。
(4) $ \frac{x}{2^n} $
