1. (2024·河北模拟)如图，将一个正五边形$ABCDE$变形为四边形$ABCD$，其中$A$，$E$，$D$三点共线，$AD// BC$，则$∠C$的度数将(
)
A.增大$12^{\circ}$
B.减少$12^{\circ}$
C.增大$24^{\circ}$
D.减少$24^{\circ}$
答案：D
解析：
正五边形内角和为$(5-2)×180^{\circ}=540^{\circ}$，每个内角为$540^{\circ}÷5=108^{\circ}$，即原$∠C=108^{\circ}$。变形后为四边形$ABCD$，$A$、$E$、$D$共线且$AD// BC$。四边形内角和为$360^{\circ}$，因$AD// BC$，故$∠A+∠B=180^{\circ}$（同旁内角互补）。设变形后$∠C=x$，则$∠D=180^{\circ}-x$（$AD// BC$，同旁内角互补）。原正五边形中$∠A=∠B=∠D=108^{\circ}$，变形后$∠A'=180^{\circ}-∠B=180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}$，$∠A$减少$108^{\circ}-72^{\circ}=36^{\circ}$。原$∠E=108^{\circ}$，$A$、$E$、$D$共线使$∠AED$由$108^{\circ}$变为$180^{\circ}$，增加$72^{\circ}$，故$∠D$需增加$72^{\circ}-36^{\circ}=36^{\circ}$，即$∠D'=108^{\circ}+36^{\circ}=144^{\circ}$。则$x=180^{\circ}-∠D'=180^{\circ}-144^{\circ}=36^{\circ}$，$∠C$减少$108^{\circ}-36^{\circ}=72^{\circ}$（此过程有误，正确思路：正五边形外角$72^{\circ}$，变形后$AD// BC$，$∠C$外角为$72^{\circ}+24^{\circ}=96^{\circ}$，内角$180^{\circ}-96^{\circ}=84^{\circ}$，减少$108^{\circ}-84^{\circ}=24^{\circ}$）。
2. (2024·丰县期中)如图，将四边形纸片$ABCD$的右下角向内折出$△ EC'F$，恰好使$C'E// AB$，$C'F// AD$，若$∠B + ∠D = 220^{\circ}$，则$∠A =$
。
答案：70
解析：
因为C'E//AB，所以∠B + ∠C'EB = 180°，设∠C'EB = α，则∠B = 180° - α；
因为C'F//AD，所以∠D + ∠C'FD = 180°，设∠C'FD = β，则∠D = 180° - β。
已知∠B + ∠D = 220°，则(180° - α) + (180° - β) = 220°，得α + β = 140°。
由折叠性质，∠CEF = ∠C'EF，∠CFE = ∠C'FE。设∠C'EF = x，∠C'FE = y，则∠CEF = x，∠CFE = y。
在直线BC上，α + 2x = 180°，得x = (180° - α)/2；在直线DC上，β + 2y = 180°，得y = (180° - β)/2。
在△ECF中，∠C + x + y = 180°，代入x、y得∠C = 180° - [(180° - α)/2 + (180° - β)/2] = (α + β)/2 = 140°/2 = 70°。
四边形内角和为360°，∠A = 360° - (∠B + ∠D + ∠C) = 360° - (220° + 70°) = 70°。
3. 如图，在$△ ABC$中，点$D$在$AB$上，过点$D$作$DE// BC$，交$AC$于点$E$，$DP$平分$∠ADE$，交$∠ACB$的平分线于点$P$，$CP$与$DE$相交于点$G$，$∠ACF$的平分线$CQ$与$DP$相交于点$Q$。
(1)若$∠A = 50^{\circ}$，$∠B = 60^{\circ}$，则$∠DPC =\_\_\_\_\_\_^{\circ}$，$∠Q\_\_\_\_\_\_^{\circ}$；
(2)若$∠A = x^{\circ}$，求$∠DPC$，$∠Q$的度数；(用含$x$的代数式表示)
(3)若在$△ PCQ$中，$∠Q = 3∠QPC$，则$∠A =$
。
答案：3. (1)115 25 点拨:
∵∠A=50°,∠B=60°,
∴∠ACB=70°,
∴∠BCP=$\frac{1}{2}$∠ACB=35°.
∵DE//BC,
∴∠ADE=∠B=60°,∠PGD=∠PCB=35°,
∴∠PDE=$\frac{1}{2}$∠ADE=30°,
∴∠DPC=180°−∠PDE−∠PGD=115°,
∴∠CPQ=180°−∠DPC=65°.
∵∠ACQ=$\frac{1}{2}$∠ACF,∠ACP=$\frac{1}{2}$∠ACB,
∴∠PCQ=∠ACQ+∠ACP=$\frac{1}{2}$(ACF+∠ACB)=90°,
∴∠Q=∠DPC−∠QCP=25°.
(2)解:由(1)得∠DPC=180°−∠PDE−∠PGD=180°−$\frac{1}{2}$∠B−$\frac{1}{2}$∠ACB=180°−$\frac{1}{2}$(∠B+∠ACB)=180°−$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A=90°+$\frac{1}{2}$x°,
∴∠Q=∠DPC−∠QCP=90°+$\frac{1}{2}$x°−90°=$\frac{1}{2}$x°.
(3)135° 点拨:由(1)得∠PCQ=90°,
∴∠QPC+∠Q=90°,
当3∠QPC=∠Q时,∠Q=67.5°,
∴∠A=2∠Q=135°.
