1. 要使方程组$\begin{cases}y = mx + 3,\\y = (2m - 1)x + 4\end{cases}$有唯一解，则$m$的值是( )
A.任意数
B.$m ≠ 1$
C.$m ≠ \frac{1}{2}$
D.$m ≠ 0$
答案：1. B
解析：
要使方程组有唯一解，则两直线不平行，即斜率不相等。
对于直线$y = mx + 3$，斜率为$m$；对于直线$y=(2m - 1)x + 4$，斜率为$2m - 1$。
令$m ≠ 2m - 1$，解得$m ≠ 1$。
B
2. 方程组$\begin{cases}mx + 2y = 3,\\x - 3y = -4n\end{cases}$有无数个解，则$m$，$n$的值为( )
A.$m = \frac{9}{8}$，$n = -\frac{2}{3}$
B.$m = -\frac{2}{3}$，$n = \frac{9}{8}$
C.$m = \frac{2}{3}$，$n = -\frac{9}{8}$
D.$m = 1$，$n = -\frac{3}{4}$
答案：2. B
解析：
解：对于方程组$\begin{cases}mx + 2y = 3 \\x - 3y = -4n\end{cases}$，当两方程对应系数成比例时，方程组有无数个解。
即$\frac{m}{1} = \frac{2}{-3} = \frac{3}{-4n}$。
由$\frac{m}{1} = \frac{2}{-3}$，得$m = -\frac{2}{3}$。
由$\frac{2}{-3} = \frac{3}{-4n}$，交叉相乘得$2×(-4n) = 3×(-3)$，即$-8n = -9$，解得$n = \frac{9}{8}$。
综上，$m = -\frac{2}{3}$，$n = \frac{9}{8}$。
答案：B
3. 已知方程组$\begin{cases}3x - 2y = 4,\\ax + 2y = b.\end{cases}$
(1)当$a$
≠−3
，$b$
为任意数
时，方程组有唯一解；
(2)当$a$
=−3
，$b$
=−4
时，方程组有无数组解；
(3)当$a$
=−3
，$b$
≠−4
时，方程组无解.
答案：3. (1)≠−3 为任意数 (2)=−3 =−4
(3)=−3 ≠−4
4. 已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x + ay = 5,\\x - y = -b.\end{cases}$
(1)若方程组无解，求出$a$，$b$的取值；
(2)若$b = 1$，方程组有正整数解，求正整数$a$的值.
答案：4. 解：(1)$\begin{cases}x + ay = 5,①\\x - y = -b,②\end{cases}$
①−②，得$(a + 1)y = 5 + b$，
解得$y = \frac{b + 5}{a + 1}$。
∵方程组无解，
∴$a + 1 = 0$且$5 + b ≠ 0$，
解得$a = -1$且$b ≠ -5$。
(2)将$b = 1$代入$y = \frac{b + 5}{a + 1}$得$y = \frac{6}{a + 1}$。
∵方程组有正整数解，
∴$a + 1$能整除6，且$x$，$y$满足$x = y - 1 ＞ 0$，
当$a + 1 = 1$时，$a = 0$，不合题意，舍去；
当$a + 1 = 2$时，$a = 1$，$y = 3$，$x = 2$；
当$a + 1 = 3$时，$a = 2$，$y = 2$，$x = 1$；
当$a + 1 = 6$时，$a = 5$，$y = 1$，$x = 0$，不合题意，舍去。
综上所述，正整数$a$的值为1或2。
