一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1. (2025·姑苏区期中)将方程 $2x - y = 4$ 改写成用含 $x$ 的式子表示 $y$ 的形式，结果是 (
B
)
A. $y = 2x + 4$
B. $y = 2x - 4$
C. $x = \frac{1}{2}y + 2$
D. $x = \frac{1}{2}y - 2$
答案：1. B
2. (2024·启东期末)已知方程组 $\begin{cases}x + m = 4, \\ y - 5 = m\end{cases}$ 则无论 $m$ 取何值，$x$，$y$ 恒有的关系式是 ( )
A.$x + y = 1$
B.$x + y = -1$
C.$x + y = 9$
D.$x + y = -9$
答案：2. C
解析：
由方程组$\begin{cases}x + m = 4 \\ y - 5 = m\end{cases}$，得$m = 4 - x$，$m = y - 5$。
所以$4 - x = y - 5$，移项可得$x + y = 9$。
C
3. (2024·通州区月考)若关于 $x$，$y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}x - y = 4k, \\ x + y = 2k\end{cases}$ 的解也是二元一次方程 $2x - y = -7$ 的解，则 $k$ 的值是 ( )
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
答案：3. A
解析：
解：解方程组$\begin{cases}x - y = 4k \\ x + y = 2k\end{cases}$，
两式相加得：$2x = 6k$，解得$x = 3k$，
将$x = 3k$代入$x + y = 2k$，得$3k + y = 2k$，解得$y = -k$，
将$x = 3k$，$y = -k$代入$2x - y = -7$，得$2×3k - (-k) = -7$，
即$6k + k = -7$，$7k = -7$，解得$k = -1$。
A
4. (2024·昆山模拟)关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}2ax + 3y = 18, \\ -x + 5by = 17\end{cases}$(其中 $a$，$b$ 是常数)的解为 $\begin{cases}x = 3, \\ y = 4\end{cases}$ 则方程组 $\begin{cases}2a(x + y) + 3(x - y) = 18, \\ (x + y) - 5b(x - y) = -17\end{cases}$ 的解为 ( )
A.$\begin{cases}x = 3, \\ y = 4 \end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 7, \\ y = -1 \end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 3.5, \\ y = -0.5 \end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 3.5, \\ y = 0.5 \end{cases}$
答案：4. C
解析：
令$m = x + y$，$n = x - y$，则新方程组可化为$\begin{cases}2am + 3n = 18 \\ -m + 5bn = -17\end{cases}$。
因为原方程组$\begin{cases}2ax + 3y = 18 \\ -x + 5by = 17\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 3 \\ y = 4\end{cases}$，所以$\begin{cases}m = 3 \\ n = 4\end{cases}$，即$\begin{cases}x + y = 3 \\ x - y = 4\end{cases}$。
解得$\begin{cases}x = \frac{7}{2} = 3.5 \\ y = -\frac{1}{2} = -0.5\end{cases}$
C
5. 为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则如下：明文为 $a$，$b$，$c$，对应的密文为 $a + 2$，$-a + 2b + 4$，$b + 3c + 9$。如果接收方收到的密文为 $9$，$13$，$23$，那么解密得到的明文为 (
B
)
A.$8$，$2$，$7$
B.$7$，$8$，$2$
C.$8$，$7$，$2$
D.$7$，$2$，$8$
二、填空题(每小题 6 分，共 24 分)
答案：5. B
解析：
由加密规则可得：
1. $a + 2 = 9$，解得$a = 9 - 2 = 7$
2. $-a + 2b + 4 = 13$，将$a = 7$代入得$-7 + 2b + 4 = 13$，即$2b - 3 = 13$，$2b = 16$，解得$b = 8$
3. $b + 3c + 9 = 23$，将$b = 8$代入得$8 + 3c + 9 = 23$，即$3c + 17 = 23$，$3c = 6$，解得$c = 2$
明文为$7$，$8$，$2$
B
6. 定义一种新运算“⊕”，规定：$x⊕y = ax + bxy$，其中 $a$，$b$ 为常数，且 $1⊕2 = 4$，$2⊕(-1) = 5$，则 $a + b =$
3.5
。
答案：6. 3.5
解析：
由题意得：
$\begin{cases}a × 1 + b × 1 × 2 = 4 \\a × 2 + b × 2 × (-1) = 5\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a + 2b = 4 \\2a - 2b = 5\end{cases}$
将两式相加：$3a = 9$，解得$a = 3$。
把$a = 3$代入$a + 2b = 4$，得$3 + 2b = 4$，解得$b = \frac{1}{2}$。
所以$a + b = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$。
3.5
7. (2024·如东县期中)若 $3x + y + 2z = 5$，$2x + 4y + 3z = 10$，则 $x + y + z$ 的值为
3
。
答案：7. 3
解析：
解：已知$3x + y + 2z = 5$，$2x + 4y + 3z = 10$，将两式相加得：
$(3x + y + 2z) + (2x + 4y + 3z) = 5 + 10$
$5x + 5y + 5z = 15$
两边同时除以$5$得：$x + y + z = 3$
3
8. (2024·兴化期末)某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费 $32$ 元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买 $1$ 件，其中甲种奖品每件 $4$ 元，乙种奖品每件 $3$ 元，则有
2
种购买方案。
答案：8. 2
解析：
设购买甲种奖品$x$件，乙种奖品$y$件。
$4x + 3y = 32$，$x≥1$，$y≥1$，且$x$，$y$为正整数。
$y = \frac{32 - 4x}{3}$，则$32 - 4x$是$3$的倍数。
当$x = 2$时，$y = \frac{32 - 8}{3} = 8$；
当$x = 5$时，$y = \frac{32 - 20}{3} = 4$。
共2种购买方案。
2
9. 已知关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1, \\ a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$ 的解是 $\begin{cases}x = 4, \\ y = 9\end{cases}$ 则方程组 $\begin{cases}2a_1x' + 3b_1y' = 4c_1, \\ 2a_2x' + 3b_2y' = 4c_2\end{cases}$ 中 $x' - 2y'$ 的值为 ______ 。
答案：9. -16
解析：
将方程组$\begin{cases}2a_1x' + 3b_1y' = 4c_1 \\ 2a_2x' + 3b_2y' = 4c_2\end{cases}$两边同时除以4，得$\begin{cases}a_1(\dfrac{x'}{2}) + b_1(\dfrac{3y'}{4}) = c_1 \\ a_2(\dfrac{x'}{2}) + b_2(\dfrac{3y'}{4}) = c_2\end{cases}$。
因为关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 4 \\ y = 9\end{cases}$，所以$\begin{cases}\dfrac{x'}{2} = 4 \\ \dfrac{3y'}{4} = 9\end{cases}$。
解得$\begin{cases}x' = 8 \\ y' = 12\end{cases}$。
则$x' - 2y' = 8 - 2×12 = -16$。
$-16$
