13. (2024·亭湖区期中)掌握地震知识，提升防震意识.通常，我们用里氏震级衡量地震强度，地震时所释放出的能量$ E $与里氏震级$ n $的关系为$ E = k × 10^{1.5n} $(其中$ k $为大于$ 0 $的常数)，那么震级为$ 6 $级的地震所释放的能量是震级为$ 4 $级的地震所释放能量的
$10^{3}$
倍.
答案：13. $10^{3}$
解析：
设震级为6级的地震释放的能量为$E_1$，震级为4级的地震释放的能量为$E_2$。
由题意得：$E_1 = k × 10^{1.5×6}$，$E_2 = k × 10^{1.5×4}$。
则$\frac{E_1}{E_2} = \frac{k × 10^{9}}{k × 10^{6}} = 10^{3}$。
$10^{3}$
14. 计算:
(1)$ x^{8} ÷ x^{3} · x^{2} $；
(2)$ (-a^{4})^{3} ÷ (a^{2})^{3} ÷ a $；
(3)$ (p - q)^{4} ÷ (p - q)^{3} · (q - p)^{5} $；
(4)$ -10^{2n} × 100 ÷ (-10)^{2n - 1} $($ n $为正整数).
答案：14. 解: (1) 原式$=x^{8 - 3 + 2}=x^{7}$.
(2) 原式$=-a^{12} ÷ a^{6} ÷ a=-a^{5}$.
(3) 原式$=-(p - q)^{4} ÷ (p - q)^{3} · (p - q)^{5}=-(p - q)^{4 - 3 + 5}=-(p - q)^{6}$.
(4) 原式$=-10^{2n} × 10^{2} ÷ (-10)^{2n - 1}=10^{2n + 2 - 2n + 1}=10^{3}=1000$.
15. (2024·姑苏区期中)
(1)已知$ 2^{m}=3 $，$ 2^{n}=5 $，求$ 2^{3m} ÷ 2^{2n} $的值.
(2)已知$ 10^{α}=20 $，$ 10^{β}=\frac{1}{5} $，求$ 25^{α} ÷ 5^{2β} $的值.
答案：15. 解: (1) 因为$2^{m}=3$,$2^{n}=5$,所以$2^{3m}=(2^{m})^{3}=3^{3}=27$,$2^{2n}=(2^{n})^{2}=5^{2}=25$,所以$2^{3m} ÷ 2^{2n}=\frac{27}{25}$.
(2) 因为$10^{α}=20$,$10^{β}=\frac{1}{5}$,所以$10^{α} ÷ 10^{β}=20 ÷ \frac{1}{5}$,所以$10^{α - β}=100=10^{2}$,所以$α - β=2$,所以$25^{α} ÷ 5^{2β}=(5^{2})^{α} ÷ 5^{2β}=5^{2α} ÷ 5^{2β}=5^{2α - 2β}=5^{4}=625$.
16. 求下列各式中$ x $的值:
(1)$ 3^{2} · 9^{2x + 1} ÷ 27^{x + 1}=81 $；
(2)$ 3^{3x + 1} · 5^{3x + 1}=15^{2x + 4} $.
答案：16. 解: (1) 原方程化为$3^{2} · 3^{4x + 2} ÷ 3^{3x + 3}=3^{4}$,即$2 + 4x + 2 - (3x + 3)=4$,解得$x = 3$.
(2) 原方程化为$15^{3x + 1}=15^{2x + 4}$,即$3x + 1 = 2x + 4$,解得$x = 3$.
17. 若$ 9^{m} × 27^{m - 1} ÷ 3^{3m}=27 $，试确定$ m^{2025} $的个位数字.
答案：17. 解: 因为$9^{m} × 27^{m - 1} ÷ 3^{3m}=27$,所以$3^{2m} × 3^{3(m - 1)} ÷ 3^{3m}=3^{3}$,即$2m + 3(m - 1) - 3m = 3$,解得$m = 3$. 因为$3^{1}=3$,$3^{2}=9$,$3^{3}=27$,$3^{4}=81$,$3^{5}=243$,$3^{6}=729$,$3^{7}=2187$,$3^{8}=6561······$所以个位数字为3,9,7,1依次循环. 因为$2025 ÷ 4 = 506······1$,所以$3^{2025}$的个位数字为3.
解析：
解: 因为$9^{m} × 27^{m - 1} ÷ 3^{3m}=27$，所以$3^{2m} × 3^{3(m - 1)} ÷ 3^{3m}=3^{3}$，即$2m + 3(m - 1) - 3m = 3$，解得$m = 3$。
因为$3^{1}=3$，$3^{2}=9$，$3^{3}=27$，$3^{4}=81$，$3^{5}=243$，$···$，个位数字以$3$，$9$，$7$，$1$循环。
又因为$2025 ÷ 4 = 506······1$，所以$3^{2025}$的个位数字为$3$，即$m^{2025}$的个位数字为$3$。
