8. (2024·高邮期中)小明制作了如图所示的$A$类，$B$类，$C$类卡片各 50 张，其中$A$，$B$两类卡片都是正方形，$C$类卡片是长方形，现要拼一个宽为$(4a + 5b)$，长为$(7a + 4b)$的大长方形，那么下列关于他所准备的$C$类卡片的张数的说法中，正确的是(
C
)
A.够用，剩余 1 张
B.够用，剩余 5 张
C.不够用，还缺 1 张
D.不够用，还缺 5 张
答案：8. C
解析：
大长方形面积：$(4a + 5b)(7a + 4b) = 28a^2 + 16ab + 35ab + 20b^2 = 28a^2 + 51ab + 20b^2$。
A类卡片面积为$a^2$，需28张；B类卡片面积为$b^2$，需20张；C类卡片面积为$ab$，需51张。
现有C类卡片50张，$51 - 50 = 1$，故不够用，还缺1张。
C
9. 现有一长方形地块，长比宽多 20 米.若将长增加 10 米，宽缩短 5 米，则所得长方形地块与原长方形地块的面积相等，则原长方形地块的长为
$50$
米.
答案：9. $50$
解析：
设原长方形地块的宽为$x$米，则长为$(x + 20)$米。
原长方形面积为$x(x + 20)$平方米。
长增加10米后为$(x + 20 + 10) = (x + 30)$米，宽缩短5米后为$(x - 5)$米，新长方形面积为$(x + 30)(x - 5)$平方米。
由题意得：$x(x + 20) = (x + 30)(x - 5)$
展开得：$x^2 + 20x = x^2 + 25x - 150$
移项化简得：$5x = 150$
解得：$x = 30$
原长方形长为$x + 20 = 30 + 20 = 50$米。
50
10. (2024·苏州期末)已知$(x - 2)(2x + 1) = 2x^2 + mx + n$，则$m + n$的值是
$-5$
.
答案：10. $-5$
解析：
解：$(x-2)(2x+1)$
$=x·2x+x·1-2·2x-2·1$
$=2x^2+x-4x-2$
$=2x^2-3x-2$
因为$(x - 2)(2x + 1) = 2x^2 + mx + n$，所以$m=-3$，$n=-2$。
则$m + n=-3+(-2)=-5$。
$-5$
11. 试说明：代数式$(2x + 2)(3x + 5) - 2x(3x + 6) - 4(x - 2)$的值与$x$的取值无关.
答案：11. 解：因为$(2x + 2)(3x + 5) - 2x(3x + 6) - 4(x - 2) = 6x^{2} + 10x + 6x + 10 - 6x^{2} - 12x - 4x + 8 = 18$，
所以代数式的值与$x$的取值无关．
12. (2024·邗江区期末)为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，如图，已知该地块是长为$(a + 4b)$米，宽为$(a + 3b)$米的长方形，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为$a$米，并计划将阴影部分改造为种植区.
(1)用含$a$，$b$的式子分别表示出小路的面积$S_1$和种植区的总面积$S_2$；(结果化为最简形式)
(2)若$a = 2$，$b = 4$，求出此时种植区的总面积$S_2$.
答案：12. 解：(1)$S_{1} = a(a + 4b) = (a^{2} + 4ab)$平方米，$S_{2} = (a + 3b - a)(a + 4b) = 3b(a + 4b) = (3ab + 12b^{2})$平方米．
(2) 当$a = 2$，$b = 4$时，
$S_{2} = 3×2×4 + 12×4^{2} = 24 + 192 = 216$（平方米）．
答：此时种植区的总面积$S_{2}$为$216$平方米．
13. 如图，长方形$ABCD$是“阳光小区”内一块空地，已知$AB = (2a + 6b)$米，$BC = (8a + 4b)$米.
(1)长方形$ABCD$的面积是多少平方米？
(2)若$E$为$AB$边的中点，$DF = \frac{1}{4}BC$，现打算在阴影部分种植一片草坪，这片草坪的面积是多少平方米？
答案：13. 解：(1)$AB·BC = (2a + 6b)(8a + 4b) = (16a^{2} + 56ab + 24b^{2})$平方米．
答：长方形$ABCD$的面积是$(16a^{2} + 56ab + 24b^{2})$平方米．
(2) 由题意，得$AF = AD - DF = BC - \frac{1}{4}BC = \frac{3}{4}BC = \frac{3}{4}(8a + 4b) = (6a + 3b)$米，
$AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}(2a + 6b) = (a + 3b)$米，
则草坪的面积为$\frac{1}{2}×(16a^{2} + 56ab + 24b^{2}) - \frac{1}{2}AE·AF = \frac{1}{2}×(16a^{2} + 56ab + 24b^{2}) - \frac{1}{2}(a + 3b)(6a + 3b) = (5a^{2} + \frac{35}{2}ab + \frac{15}{2}b^{2})$平方米．
答：这片草坪的面积是$(5a^{2} + \frac{35}{2}ab + \frac{15}{2}b^{2})$平方米．
