一、选择题
1. (2024·南通月考)已知$\vert 2x - y + 3\vert + (3x - y + 5)^2 = 0$，则$x + y$的值为(
A
)
A. $-3$
B. $1$
C. $-1$
D. $3$
答案：1. A
解析：
因为$\vert 2x - y + 3\vert + (3x - y + 5)^2 = 0$，且$\vert 2x - y + 3\vert ≥ 0$，$(3x - y + 5)^2 ≥ 0$，所以$\begin{cases}2x - y + 3 = 0 \\ 3x - y + 5 = 0\end{cases}$。
用第二个方程减去第一个方程：$(3x - y + 5) - (2x - y + 3) = 0 - 0$，即$x + 2 = 0$，解得$x = -2$。
将$x = -2$代入$2x - y + 3 = 0$，得$2×(-2) - y + 3 = 0$，即$-4 - y + 3 = 0$，解得$y = -1$。
所以$x + y = -2 + (-1) = -3$。
A
2. (2024·南通期末)若$\begin{cases}x = 1,\\y = -2\end{cases}$是关于$x$和$y$的二元一次方程$mx + ny = 3$的解，则$2m - 4n$的值等于( )
A.$3$
B.$6$
C.$-1$
D.$-2$
答案：2. B
解析：
将$\begin{cases}x = 1\\y = -2\end{cases}$代入$mx + ny = 3$，得$m - 2n = 3$。
$2m - 4n = 2(m - 2n) = 2×3 = 6$
B
3. (2025·成都)中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何？其大意是：今有良田$1$亩价值$300$钱；劣田$7$亩价值$500$钱.今合买良、劣田$1$顷($100$亩)，价值$10000$钱.问良田、劣田各有多少亩？设良田为$x$亩，劣田为$y$亩，则可列方程组为(
A
)
A.$\begin{cases}x + y = 100,\\300x + \dfrac{500}{7}y = 10000\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y = 100,\\300y + \dfrac{500}{7}x = 10000\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 100,\\300x + 500y = 10000\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 100,\\300y + 500x = 10000\end{cases}$
答案：3. A
4. (2025·兴化期末)若二元一次方程组$\begin{cases}x + 2y = k - 1,\\2x + y = 5k + 4\end{cases}$的解也是二元一次方程$x + y = -1$的解，则$k$的值为( )
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
答案：4. A
解析：
解：$\begin{cases}x + 2y = k - 1,①\\2x + y = 5k + 4,②\end{cases}$
①+②，得$3x + 3y = 6k + 3$，
两边同时除以3，得$x + y = 2k + 1$。
因为方程组的解也是$x + y = -1$的解，
所以$2k + 1 = -1$，
解得$k = -1$。
A
5. (2024·扬州期中)已知关于$x$，$y$的二元一次方程$(m - 2)x + (m - 3)y + 2m - 3 = 0$，当$m$每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解是(
D
)
A.$\begin{cases}x = 3,\\y = -1\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 1,\\y = -3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = -1,\\y = 3\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = -3,\\y = 1\end{cases}$
答案：5. D
解析：
将方程整理为关于$m$的表达式：$m(x + y + 2) - (2x + 3y + 3) = 0$。
因为公共解与$m$无关，所以有$\begin{cases}x + y + 2 = 0 \\ 2x + 3y + 3 = 0\end{cases}$
解方程组：
由第一个方程得$x = -y - 2$，代入第二个方程：
$2(-y - 2) + 3y + 3 = 0$
$-2y - 4 + 3y + 3 = 0$
$y - 1 = 0$
$y = 1$
将$y = 1$代入$x = -y - 2$，得$x = -1 - 2 = -3$
所以公共解为$\begin{cases}x = -3 \\ y = 1\end{cases}$
D
二、填空题
6. 把二元一次方程$3x - 4y = 1$变形成用含$y$的代数式表示$x$，则$x =$
$\frac{4y + 1}{3}$
.
答案：6. $\frac{4y + 1}{3}$
7. (2024·张家港期末)$\begin{cases}x + 3y = 2 - t,\\x - 5y = 3t\end{cases}$是关于$x$，$y$的二元一次方程组，则$x + y$的值为 ______ .
答案：7. $\frac{3}{2}$
解析：
$\begin{cases}x + 3y = 2 - t,\\x - 5y = 3t\end{cases}$
将第一个方程乘以3，得：$3x + 9y = 6 - 3t$
与第二个方程相加：$3x + 9y + x - 5y = 6 - 3t + 3t$
$4x + 4y = 6$
$x + y = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$\frac{3}{2}$
8. 已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1,\\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 4,\\y = 5,\end{cases}$则关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}4a_1x - 5b_1y = 3c_1,\\4a_2x - 5b_2y = 3c_2\end{cases}$的解是 ______ .
答案：8. $\begin{cases}x = 3,\\y = -3\end{cases}$
解析：
已知原方程组的解为$\begin{cases}x = 4\\y = 5\end{cases}$，代入得$\begin{cases}4a_1 + 5b_1 = c_1\\4a_2 + 5b_2 = c_2\end{cases}$。
将新方程组$\begin{cases}4a_1x - 5b_1y = 3c_1\\4a_2x - 5b_2y = 3c_2\end{cases}$两边同时除以$3$，得$\begin{cases}a_1(\dfrac{4x}{3}) + b_1(-\dfrac{5y}{3}) = c_1\\a_2(\dfrac{4x}{3}) + b_2(-\dfrac{5y}{3}) = c_2\end{cases}$。
对比可得$\begin{cases}\dfrac{4x}{3} = 4\\-\dfrac{5y}{3} = 5\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 3\\y = -3\end{cases}$。
$\begin{cases}x = 3\\y = -3\end{cases}$
9. (2024·江阴月考)使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.如果一个二元一次方程的解中两个未知数的绝对值相等，那么我们把这个解称作这个二元一次方程的等模解.二元一次方程$2x - 5y = 7$的等模解是
.
答案：9. $\begin{cases}x = -\frac{7}{3},\\y = -\frac{7}{3}\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = 1,\\y = -1\end{cases}$
解析：
因为二元一次方程的等模解中两个未知数的绝对值相等，所以分两种情况：
情况一：$x = y$
将$x = y$代入方程$2x - 5y = 7$，得$2x - 5x = 7$，即$-3x = 7$，解得$x = -\frac{7}{3}$，所以$y = -\frac{7}{3}$，此时解为$\begin{cases}x = -\frac{7}{3}\\y = -\frac{7}{3}\end{cases}$
情况二：$x = -y$
将$x = -y$代入方程$2x - 5y = 7$，得$2(-y) - 5y = 7$，即$-2y - 5y = 7$，$-7y = 7$，解得$y = -1$，所以$x = 1$，此时解为$\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}$
综上，二元一次方程$2x - 5y = 7$的等模解是$\begin{cases}x = -\frac{7}{3}\\y = -\frac{7}{3}\end{cases}$或$\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}$
