8. (2024·惠山区月考)乐乐同学用一张长方形纸片折纸飞机,折叠过程如图所示,最后折成的纸飞机如图所示,则$∠ AOB$的度数为
45
$^{\circ}$.
答案：8.45
三、解答题
9. (2024·南京期末)如图,在正方形网格中,有格点$△ ABC$和直线$MN$.
(1)画出$△ ABC$关于直线$MN$对称的$△ A_1B_1C_1$;
(2)画出将$△ ABC$绕点$A$按逆时针方向旋转$90^{\circ}$得到的$△ AB_2C_2$;
(3)画出把$△ ABC$向右平移一个网格,然后再向上平移四个网格所得的$△ A_2B_3C_3$.(都不要求写作法)
答案：9.解:(1)如答图,△A₁B₁C₁即为所求.
(2)如答图,△AB₂C₂即为所求.
(3)如答图,△A₂B₃C₃即为所求.
10. (2024·邗江区期末)在$△ ABC$中,$∠ A = 80^{\circ}$,$∠ C = 30^{\circ}$,现把$△ CDE$沿$DE$进行不同的折叠得到$△ C'DE$,对折叠后产生的夹角进行探究:
(1)如图①,把$△ CDE$沿$DE$折叠在四边形$ADEB$内,求$∠ 1 + ∠ 2$的和;
(2)如图②,把$△ CDE$沿$DE$折叠覆盖$∠ A$,求$∠ 1 + ∠ 2$的和;
(3)如图③,把$△ CDE$沿$DE$斜向上折叠,探求$∠ 1$,$∠ 2$,$∠ C$的关系.
答案：10.解:(1)由折叠的性质,得∠CDE = ∠C'DE,∠CED = ∠C'ED,
∴∠1 + ∠2 = 180° - 2∠CDE + 180° - 2∠CED = 360° - 2(∠CDE + ∠CED) = 360° - 2(180° - ∠C) = 2∠C = 60°.
(2)连接DG,如答图，
∠1 + ∠2 = 180° - ∠C' - (∠ADG + ∠AGD) = 180° - 30° - (180° - 80°) = 50°.
(3)∠2 - ∠1 = 180° - 2∠CED - (2∠CDE - 180°) = 360° - 2(∠CDE + ∠CED) = 360° - 2(180° - ∠C) = 2∠C,
所以∠2 - ∠1 = 2∠C.
11. (2024·海门区开学)如图①,一副三角尺的两个直角重叠在一起,$∠ A = 30^{\circ}$,$∠ C = 45^{\circ}$,$△ COD$固定不动,$△ AOB$绕着点$O$按逆时针方向旋转$α^{\circ}(0 ＜ α ＜ 180)$.
(1)将$△ AOB$绕着点$O$旋转到图②的位置,若$∠ BOD = 60^{\circ}$,则$∠ AOC =\_\_\_\_\_\_^{\circ}$.
(2)若$0 ＜ α ＜ 90$,在旋转的过程中$∠ BOD + ∠ AOC$的度数会发生变化吗?若不变化,请求出这个度数.
(3)若$90 ＜ α ＜ 180$,问题(2)中的结论还成立吗?请说明理由.
(4)将$△ AOB$绕点$O$按逆时针方向旋转$α^{\circ}(0 ＜ α ＜ 180)$,当$α$为多少时,两个三角形至少有一组边所在直线互相垂直?(请直接写出所有答案)
答案：11.(1)120
(2)解:不变.若0 ＜ α ＜ 90,即∠AOD = α°,所以∠AOC = ∠AOD + ∠DOC = 90° + α°,∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = 90° - α°,所以∠BOD + ∠AOC = 90° - α° + 90° + α° = 180°,即在旋转的过程中∠BOD + ∠AOC = 180°,不发生变化.
(3)解:成立.
理由:若90 ＜ α ＜ 180,即∠AOD = α°,
所以∠AOC = 360° - (∠AOD + ∠DOC) = 270° - α°,∠BOD = ∠AOD - ∠AOB = α° - 90°,所以∠BOD + ∠AOC = α° - 90° + 270° - α° = 180°,即(2)中的结论还成立.
(4)解:当α为45,60,90,105,135,150时,两个三角形至少有一组边所在直线垂直.
