一、选择题
1. (2024·秦淮区月考)下列运算正确的是 (
D
)
A. $(a + b)^2 = a^2 + b^2$
B. $x^3 + x^3 = x^6$
C. $(a^3)^2 = a^5$
D. $2x^2 · (-3x^3) = -6x^5$
答案：1. D
2. 若 $x^2 + (a - 1)x + 25$ 是一个完全平方式,则 $a$ 的值为 (
B
)
A.$-9$
B.$-9$ 或 $11$
C.$9$ 或 $-11$
D.$11$
答案：2. B
解析：
因为$x^2 + (a - 1)x + 25$是完全平方式，所以$x^2 + (a - 1)x + 25=(x\pm5)^2$。
$(x + 5)^2=x^2 + 10x + 25$，则$a - 1=10$，解得$a=11$；
$(x - 5)^2=x^2 - 10x + 25$，则$a - 1=-10$，解得$a=-9$。
综上，$a$的值为$-9$或$11$。
B
3. (2024·天宁区期中)若多项式 $2x^2 - (2x + m)(x - 2n) + 3$ 的值与 $x$ 的取值无关,则 $m$ 和 $n$ 满足 (
A
)
A.$m = 4n$
B.$m = 0$ 且 $n = 0$
C.$4m = n$
D.$m + 4n = 0$
答案：3. A
解析：
$\begin{aligned}&2x^2 - (2x + m)(x - 2n) + 3\\=&2x^2 - [2x · x + 2x · (-2n) + m · x + m · (-2n)] + 3\\=&2x^2 - (2x^2 - 4nx + mx - 2mn) + 3\\=&2x^2 - 2x^2 + 4nx - mx + 2mn + 3\\=&(4n - m)x + (2mn + 3)\end{aligned}$
因为多项式的值与$x$的取值无关，所以$x$的系数为$0$，即$4n - m = 0$，所以$m = 4n$。
A
4. (2024·吴江区期中)已知 $x + y = 7,xy = 10$,则 $(x - y)^2$ 的值为 (
B
)
A.$3$
B.$9$
C.$49$
D.$100$
答案：4. B
解析：
$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$
$= x^2 + 2xy + y^2 - 4xy$
$=(x + y)^2 - 4xy$
当$x + y = 7$，$xy = 10$时，
原式$=7^2 - 4×10$
$=49 - 40$
$=9$
B
5. 如图,大正方形与小正方形的面积之差是 $80$,则阴影部分的面积是 (
B
)
A.$30$
B.$40$
C.$50$
D.$60$
答案：5. B
解析：
设大正方形边长为$a$，小正方形边长为$b$。
由题意得：$a^2 - b^2 = 80$，即$(a - b)(a + b) = 80$。
阴影部分为两个三角形，面积之和为：
$\begin{aligned}&\frac{1}{2}(a - b)a + \frac{1}{2}(a - b)b\\=&\frac{1}{2}(a - b)(a + b)\\=&\frac{1}{2} × 80\\=&40\end{aligned}$
B
二、填空题
6. 若 $(3x + 2y)^2 = (3x - 2y)^2 + A$,则代数式 $A$ 为
$24xy$
.
答案：6. $24xy$
解析：
解：$(3x + 2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2$
$(3x - 2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2$
$A=(3x + 2y)^2 - (3x - 2y)^2=(9x^2 + 12xy + 4y^2)-(9x^2 - 12xy + 4y^2)=24xy$
$24xy$
7. 若 $(m + 3x)(m - 3x) = 16 - nx^2$,则 $mn$ 的值为
$\pm 36$
.
答案：7. $\pm 36$
解析：
$(m + 3x)(m - 3x) = m^2 - 9x^2$，
因为$(m + 3x)(m - 3x) = 16 - nx^2$，
所以$m^2 = 16$，$-9 = -n$，
解得$m = \pm 4$，$n = 9$，
当$m = 4$时，$mn = 4×9 = 36$；
当$m = -4$时，$mn = -4×9 = -36$，
故$mn = \pm 36$。
8. (2025·淮安期末)已知 $m + n = 5,mn = 3$,则 $(m - 1)(n - 1)$ 的值等于
$-1$
.
答案：8. $-1$
解析：
$(m - 1)(n - 1)$
$= mn - m - n + 1$
$= mn - (m + n) + 1$
当$m + n = 5$，$mn = 3$时，
原式$= 3 - 5 + 1 = -1$
$-1$
9. (2025·南京期末)计算: $(x - y)(x^2 + xy + y^2) =$
$x^{3}-y^{3}$
.
答案：9. $x^{3}-y^{3}$
解析：
$(x - y)(x^2 + xy + y^2)$
$=x(x^2 + xy + y^2)-y(x^2 + xy + y^2)$
$=x^3 + x^2y + xy^2 - x^2y - xy^2 - y^3$
$=x^3 - y^3$
$x^{3}-y^{3}$
三、解答题
10. (2024·玄武区月考)计算:
(1) $x(x - 2)(x + 5)$;
(2) $(7x + y)(7x - y) - (-x + y)(x - y)$;
(3) $(mn + \frac{1}{2})^2(mn - \frac{1}{2})^2$;
(4) $(a - 2b + 3c)(a + 2b + 3c)$.
答案：10. 解：(1) 原式$=(x^{2}-2x)(x + 5)=x^{3}+5x^{2}-2x^{2}-10x = x^{3}+3x^{2}-10x$。
(2) 原式$=49x^{2}-y^{2}-(-x^{2}+2xy - y^{2}) = 50x^{2}-2xy$。
(3) 原式$=[(mn+\frac{1}{2})(mn-\frac{1}{2})]^{2}=(m^{2}n^{2}-\frac{1}{4})^{2}=m^{4}n^{4}-\frac{1}{2}m^{2}n^{2}+\frac{1}{16}$。
(4) 原式$=(a + 3c)^{2}-4b^{2}=a^{2}+6ac + 9c^{2}-4b^{2}$。
