1. 如图①是“小心有电”警示牌，班级数学兴趣小组想要制作图中的闪电标识，如图②，他们先在纸上画一条线段 $ AB $，利用三角尺和直尺将 $ AB $ 平移，得到线段 $ DC $，连接 $ AD $，$ BC $，裁出四边形 $ ABCD $，连接 $ AC $，在 $ BC $，$ AD $ 上取点 $ E $，$ F $，将 $ △ ABE $，$ △ CDF $ 分别沿 $ AE $，$ CF $ 折叠，得到 $ △ AGE $，$ △ CHF $，点 $ G $，$ H $ 均在 $ AC $ 上，则有 $ ∠ AGE = ∠ B $，$ AG = AB $，$ ∠ CHF = ∠ D $，$ CH = CD $。
(1) 以下是组员小新证明 $ AE $ 与 $ CF $ 平行的过程，根据他的思路，请你帮他补全证明过程。
由画法可得，$ AB // CD $，
所以 $ ∠ BAC = ∠ ACD $（
两直线平行，内错角相等
）。
因为折叠，
所以 $ ∠ EAG = \frac{1}{2} ∠ BAC $，$ ∠ ACF = $
$\frac{1}{2}∠ ACD$
，
所以 $ ∠ $
$EAG$
$ = ∠ $
$ACF$
(等量代换)，
所以 $ AE // CF $（
内错角相等，两直线平行
）。
(2) 如图③，组员小潘的说法正确吗？如果正确，请你帮她证明这一结论；如果不正确，请说明理由。
(3) 在制作过程中，小组发现，当 $ HG $ 的长不少于 $ \frac{1}{9} AC $，且不大于 $ \frac{1}{7} AC $ 时，闪电形态较美观。若 $ AB $，$ AC $ 的长均为整数，当 $ AC $ 最短时，求 $ AB $ 的长。
答案：(1)两直线平行，内错角相等 $\frac{1}{2}∠ ACD$ $EAG$ $ACF$ 内错角相等，两直线平行
(2)解:小潘的说法正确.证明如下:
由平移的性质可知$AB// CD$，$BC// AD$，
$\therefore ∠ B+∠ BAD=∠ D+∠ BAD=180^{\circ}$，$\therefore ∠ B=∠ D$.
由折叠的性质，得$∠ AGE=∠ B$，$∠ CHF=∠ D$，
$\therefore ∠ AGE=∠ CHF$，$\therefore EG// HF$.
(3)解:由平移的性质，得$CD=AB$，
由折叠的性质，得$AG=AB$，$CH=CD$，$\therefore CH=AB$.
$\because AG+CH - HG=AC$，$\therefore HG=2AB - AC$.
$\because HG$的长不少于$\frac{1}{9}AC$，且不大于$\frac{1}{7}AC$，
$\therefore \frac{1}{9}AC≤ 2AB - AC≤ \frac{1}{7}AC$，
$\therefore \frac{5}{9}AC≤ AB≤ \frac{4}{7}AC$，
$\therefore \frac{5}{9}≤ \frac{AB}{AC}≤ \frac{4}{7}$.
$\because AB$，$AC$都是整数，
$\therefore$符合题意的$AC$的最小值为7，此时$AB$的长为4.
