1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线交于点$O$.
(1)若$∠ A = 46^{\circ}$，则$∠ BOC =$
$113^{\circ}$
；
(2)若$∠ A = n^{\circ}$，则$∠ BOC =$
$90^{\circ}+\frac{1}{2} n^{\circ}$
.
答案：1. (1) $113^{\circ}$ (2) $90^{\circ}+\frac{1}{2} n^{\circ}$
解析：
(1)
在$△ ABC$中，$∠ A = 46°$，则$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - 46° = 134°$。
因为$BO$、$CO$分别平分$∠ ABC$、$∠ ACB$，所以$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB$。
则$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2} × 134° = 67°$。
在$△ BOC$中，$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - 67° = 113°$。
(2)
在$△ ABC$中，$∠ A = n°$，则$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - n°$。
因为$BO$、$CO$分别平分$∠ ABC$、$∠ ACB$，所以$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}(180° - n°) = 90° - \frac{1}{2}n°$。
在$△ BOC$中，$∠ BOC = 180° - (90° - \frac{1}{2}n°) = 90° + \frac{1}{2}n°$。
(1) $113°$
(2) $90° + \frac{1}{2}n°$
2. (1)如图①，$∠ FDC$与$∠ ECD$分别为$△ ADC$的两个外角，试探究$∠ A$与$∠ FDC+∠ ECD$的数量关系；
(2)如图②，在$△ ADC$中，$DP$，$CP$分别平分$∠ ADC$和$∠ ACD$，试探究$∠ P$与$∠ A$的数量关系；
(3)如图③，在四边形$ABCD$中，$DP$，$CP$分别平分$∠ ADC$和$∠ BCD$，试探究$∠ P$与$∠ A+∠ B$的数量关系.
答案：2. 解: (1) $ \because ∠ FDC=∠ A+∠ ACD, ∠ ECD=∠ A+∠ ADC $,
$ \therefore ∠ FDC+∠ ECD=∠ A+∠ ACD+∠ A+∠ ADC=180^{\circ}+∠ A $.
(2) $ \because DP, CP $ 分别平分 $ ∠ ADC $ 和 $ ∠ ACD $,
$ \therefore ∠ PDC=\frac{1}{2} ∠ ADC, ∠ PCD=\frac{1}{2} ∠ ACD $,
$ \therefore ∠ P=180^{\circ}-∠ PDC-∠ PCD $
$ =180^{\circ}-\frac{1}{2} ∠ ADC-\frac{1}{2} ∠ ACD $
$ =180^{\circ}-\frac{1}{2}(∠ ADC+∠ ACD) $
$ =180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-∠ A) $
$ =90^{\circ}+\frac{1}{2} ∠ A $.
(3) $ \because DP, CP $ 分别平分 $ ∠ ADC $ 和 $ ∠ BCD $,
$ \therefore ∠ PDC=\frac{1}{2} ∠ ADC, ∠ PCD=\frac{1}{2} ∠ BCD $,
$ \therefore ∠ P=180^{\circ}-∠ PDC-∠ PCD $
$ =180^{\circ}-\frac{1}{2} ∠ ADC-\frac{1}{2} ∠ BCD $
$ =180^{\circ}-\frac{1}{2}(∠ ADC+∠ BCD) $
$ =180^{\circ}-\frac{1}{2}(360^{\circ}-∠ A-∠ B) $
$ =\frac{1}{2}(∠ A+∠ B) $.
3. (2024·丹徒区月考)如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线相交于点$P$，$△ ABC$的外角$∠ MBC$与$∠ NCB$的平分线交于点$Q$，延长线段$BP$，$QC$交于点$E$.
(1)若$∠ A = 30^{\circ}$，求$∠ BPC$的度数；
(2)探究$∠ BPC$与$∠ Q$之间的数量关系，并证明；
(3)在$△ BQE$中，若存在一个内角等于另一个内角的$3$倍，求$∠ A$的度数.
答案：3. 解: (1) $ \because ∠ ABC+∠ ACB+∠ A=180^{\circ} $,
$ \therefore ∠ ABC+∠ ACB=180^{\circ}-∠ A $.
$ \because BP, CP $ 分别平分 $ ∠ ABC, ∠ ACB $,
$ \therefore ∠ PBC=\frac{1}{2} ∠ ABC, ∠ PCB=\frac{1}{2} ∠ ACB $,
$ \therefore ∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-∠ A)=90^{\circ}-\frac{1}{2} ∠ A $.
$ \because ∠ BPC+∠ PBC+∠ PCB=180^{\circ} $,
$ \therefore ∠ BPC=180^{\circ}-(∠ PBC+∠ PCB)=180^{\circ}-(90^{\circ}-\frac{1}{2} ∠ A)=90^{\circ}+\frac{1}{2} ∠ A $.
$ \because ∠ A=30^{\circ} $,
$ \therefore ∠ BPC=90^{\circ}+\frac{1}{2} ∠ A=90^{\circ}+\frac{1}{2} × 30^{\circ}=105^{\circ} $.
(2) $ ∠ BPC+∠ Q=180^{\circ} $. 证明如下:
$ \because BP $ 平分 $ ∠ ABC, BQ $ 平分 $ ∠ MBC $,
$ \therefore ∠ PBC=\frac{1}{2} ∠ ABC, ∠ QBC=\frac{1}{2} ∠ MBC $,
$ \therefore ∠ PBC+∠ QBC=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ MBC) $,
即 $ ∠ PBQ=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ MBC) $.
$ \because ∠ ABC+∠ MBC=180^{\circ}, \therefore ∠ PBQ=90^{\circ} $,
同理 $ ∠ PCQ=90^{\circ} $.
根据四边形的内角和等于 $ 360^{\circ} $, 得 $ ∠ PBQ+∠ PCQ+∠ BPC+∠ Q=360^{\circ} $,
$ \therefore ∠ BPC+∠ Q=180^{\circ} $.
(3) 由 (1) 可知 $ ∠ BPC=90^{\circ}+\frac{1}{2} ∠ A $, 由 (2) 可知 $ ∠ BPC+∠ Q=180^{\circ} $,
$ \therefore ∠ Q=180^{\circ}-∠ BPC=180^{\circ}-(90^{\circ}+\frac{1}{2} ∠ A)=90^{\circ}-\frac{1}{2} ∠ A $.
$ \because ∠ PBQ=90^{\circ} $,
$ \therefore ∠ E=90^{\circ}-∠ Q=90^{\circ}-(90^{\circ}-\frac{1}{2} ∠ A)=\frac{1}{2} ∠ A $.
在 $ △ BQE $ 中, $ ∠ EBQ=90^{\circ}, ∠ E=\frac{1}{2} ∠ A, ∠ Q=90^{\circ}-\frac{1}{2} ∠ A $,
如果存在一个内角等于另一个内角的 3 倍, 有以下四种情况:
① 当 $ ∠ EBQ=3 ∠ E $ 时, $ 90^{\circ}=3 × \frac{1}{2} ∠ A, \therefore ∠ A=60^{\circ} $;
② 当 $ ∠ EBQ=3 ∠ Q $ 时, $ 90^{\circ}=3 ×(90^{\circ}-\frac{1}{2} ∠ A) $,
$ \therefore ∠ A=120^{\circ} $;
③ 当 $ ∠ Q=3 ∠ E $ 时, $ 90^{\circ}-\frac{1}{2} ∠ A=3 × \frac{1}{2} ∠ A $,
$ \therefore ∠ A=45^{\circ} $;
④ 当 $ ∠ E=3 ∠ Q $ 时, $ \frac{1}{2} ∠ A=3 ×(90^{\circ}-\frac{1}{2} ∠ A) $,
$ \therefore ∠ A=135^{\circ} $.
综上所述, $ ∠ A $ 的度数是 $ 60^{\circ} $ 或 $ 120^{\circ} $ 或 $ 45^{\circ} $ 或 $ 135^{\circ} $.
