1. 一根圆柱形钢材的底面周长是18.84厘米,高是6厘米。将它熔铸成底面积是9.42平方厘米的圆锥,这个圆锥的高是(
54
)厘米。
答案：1．54 解析·根据圆柱的底面周长，可求出它的底面半径是18.84÷3.14÷2=3（厘米），则圆柱的体积是3.14×$3^2$×6=169.56（立方厘米），将圆柱熔铸成圆锥，体积不变，那么圆锥的高就是169.56×3÷9.42=54（厘米）。
解析：
圆柱底面半径：$18.84÷3.14÷2 = 3$（厘米）
圆柱体积：$3.14×3^2×6 = 169.56$（立方厘米）
圆锥的高：$169.56×3÷9.42 = 54$（厘米）
54
2. 亮点原创 一个蛋筒冰淇淋近似形状如图(单位：厘米)，每立方厘米冰淇淋重0.8克，这个蛋筒冰淇淋重(
97.968
)克。(蛋筒的质量与厚度忽略不计)
答案：2．97.968
解析：
冰淇淋体积为上部圆锥与下部圆锥体积之和。
上部圆锥：底面直径6cm，半径$ r = 3 \, \mathrm{cm} $，高$ h_1 = 3 \, \mathrm{cm} $，体积$ V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 = \frac{1}{3} × \pi × 3^2 × 3 = 9\pi \, \mathrm{cm}^3 $。
下部圆锥：底面半径$ r = 3 \, \mathrm{cm} $，高$ h_2 = 10 \, \mathrm{cm} $，体积$ V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 h_2 = \frac{1}{3} × \pi × 3^2 × 10 = 30\pi \, \mathrm{cm}^3 $。
总体积$ V = V_1 + V_2 = 9\pi + 30\pi = 39\pi \approx 39 × 3.14 = 122.46 \, \mathrm{cm}^3 $。
质量：$ 122.46 × 0.8 = 97.968 \, \mathrm{克} $。
97.968
3. 有一个直角三角形(如图)，分别绕它的两条直角边所在的直线旋转一周，可以形成两个圆锥，这两个圆锥的体积相差(
50.24
)立方厘米。
答案：3．50.24
解析：
当以4cm直角边为轴旋转时，圆锥底面半径$r=6\space\mathrm{cm}$，高$h=4\space\mathrm{cm}$，体积$V_1=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}×3.14×6^2×4=150.72\space\mathrm{cm}^3$；当以6cm直角边为轴旋转时，圆锥底面半径$r=4\space\mathrm{cm}$，高$h=6\space\mathrm{cm}$，体积$V_2=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}×3.14×4^2×6=100.48\space\mathrm{cm}^3$。体积差为$150.72 - 100.48=50.24\space\mathrm{cm}^3$。
50.24
4. (1)将一个圆锥的底面直径和高都扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的(
D
)倍。
A. 6
B. 9
C. 18
D. 27
(2)将一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的(
D
)，削去部分的体积是圆柱体积的(
C
)。
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{2}{3}$
D. 2倍
(3)一个圆柱、正方体和圆锥的底面积相等，高也相等，下面说法不正确的是(
B
)。
A. 圆锥的体积是正方体体积的$\frac{1}{3}$
B. 圆锥的体积是正方体体积的3倍
C. 圆锥的体积比圆柱的体积小$\frac{2}{3}$
答案：4．(1)D (2)D C 解析·把一个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是圆柱体积的$\frac {1}{3}$，削去部分的体积是这个圆柱体积的$\frac {2}{3}$，削去部分的体积是圆锥体积的$\frac {2}{3}$÷$\frac {1}{3}$=2倍。(3)B
5. 一个密封的沙漏，上、下都是圆锥形，底面直径都是12厘米，高都是10厘米。该沙漏下面的圆锥中装满了沙子，将沙漏倒置(如图)，如果每分钟向下漏20立方厘米的沙子，那么这些沙子经过(
18.84
)分钟可以全部漏完。
答案：5．18.84 解析·根据题意可先求出沙漏中沙子的体积，再除以沙子的流速就可求出全部漏完需要的时间，即3.14×$(12÷2)^2$×10×$\frac {1}{3}$÷20=18.84(分)。
解析：
3.14×$(12÷2)^2$×10×$\frac{1}{3}$÷20=18.84(分)
6. （2025·苏州昆山市期末）一个圆锥形的沙堆，底面周长为18.84米，高为2米。用这堆沙子去铺填一个长7.5米、宽4米的长方体沙坑，铺的厚度是多少厘米？
答案：6．18.84÷3.14÷2=3(米) $\frac {1}{3}$×3.14×$3^2$×2=18.84(立方米) 18.84÷(7.5×4)=0.628(米) 0.628米=62.8厘米
7. 一个圆柱和一个圆锥的底面积之比是$1:2$，体积之比是$5:4$。如果圆柱高30厘米，那么圆锥高(
36
)厘米；如果圆锥高30厘米，那么圆柱高(
25
)厘米。
答案：7．36 25 解析·根据圆柱和圆锥的底面积之比是1:2,体积之比是5:4,可求出圆柱和圆锥高之比为(5÷1):(4×3÷2)=5:6。如果圆柱高30厘米，那么圆锥高30÷5×6=36(厘米);如果圆锥高30厘米，那么圆柱高30÷6×5=25(厘米)。
解析：
设圆柱底面积为$S_1$，圆锥底面积为$S_2$，圆柱体积为$V_1$，圆锥体积为$V_2$，圆柱高为$h_1$，圆锥高为$h_2$。
已知$\frac{S_1}{S_2}=\frac{1}{2}$，$\frac{V_1}{V_2}=\frac{5}{4}$。
圆柱体积公式$V_1 = S_1h_1$，圆锥体积公式$V_2=\frac{1}{3}S_2h_2$，则$\frac{V_1}{V_2}=\frac{S_1h_1}{\frac{1}{3}S_2h_2}=\frac{3S_1h_1}{S_2h_2}$。
将$\frac{S_1}{S_2}=\frac{1}{2}$，$\frac{V_1}{V_2}=\frac{5}{4}$代入得：$\frac{5}{4}=\frac{3×1× h_1}{2× h_2}$，化简得$\frac{h_1}{h_2}=\frac{5}{6}$。
当圆柱高$h_1 = 30$厘米时，$\frac{30}{h_2}=\frac{5}{6}$，解得$h_2=36$厘米。
当圆锥高$h_2 = 30$厘米时，$\frac{h_1}{30}=\frac{5}{6}$，解得$h_1=25$厘米。
36；25
8. 新趋势
推导探究 如图，圆柱形容器和圆锥形容器的高和底面直径都等于球的直径，将球缓慢放进装满水的圆柱形容器后，圆柱形容器中剩下的水刚好可以装满圆锥形容器。请你推导球的体积公式。
答案：8．设球的半径为r。 圆柱形容器的容积为$V_1$=$πr^2×2r=2πr^3$ 圆锥形容器的容积为$V_2$=$\frac {1}{3}πr^2×2r=\frac {2}{3}πr^3$ 则球的体积为V=$V_1$-$V_2$=$2πr^3$-$\frac {2}{3}πr^3$=$\frac {4}{3}πr^3$ 所以球的体积公式为V=$\frac {4}{3}πr^3$。
