9. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$AB = 28$，$E$、$F$ 是对角线 $AC$ 上的两点，且 $AE = EF = FC$，$DE$ 交 $AB$ 于点 $M$，$MF$ 交 $CD$ 于点 $N$，则 $CN =$
7
.
答案：7
10. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $AB$ 的中点，点 $E$ 在 $CB$ 的延长线上，$AF // BC$，交 $ED$ 的延长线于点 $F$，$EF$ 交 $AC$ 于点 $G$. 若 $CG : GA = 3 : 1$，$BC = 8$，求 $AF$ 的长.
答案：解：∵AF//BC
∴∠F=∠E
∵点D是AB的中点
∴AD=BD
在△ADF 和△BDE中
$ \begin{cases}{∠F=∠E}\\{∠ADF=∠BDE}\\{AD=BD}\end{cases}$
∴$△ADF≌△BDE(\mathrm {AAS})$
∴AF=BE
设AF=BE=x，则CE=BC+BE=8+x
∵∠F=∠E，∠AGF=∠CGE
∴△AGF∽△CGE
∴$\frac {AF}{CE}=\frac {GA}{CG}=\frac 13$
∴$\frac x{8+x}=\frac 13$
解得x=4
∴AF=4
11. 如图，$\odot O$ 的直径 $AC$ 与弦 $BD$ 相交于点 $F$，点 $E$ 在 $DB$ 的延长线上，$\angle EAB = \angle ADB$.
(1) $AE$ 与 $\odot O$ 相切吗？为什么？
(2) 若 $B$ 是 $EF$ 的中点，判断以 $A$、$B$、$C$ 为顶点的三角形与 $\triangle AEF$ 是否相似，并说明理由.
(3) 已知 $AF = 4$，$CF = 2$，在第(1)题的条件下，求 $AE$ 的长.
答案：解：$(1)$相切，理由如下
连接$BC$
∵$∠EAB=∠ADB$
∴$∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠ADB+∠BAC=∠ACB+∠BAC$
∵$AC$是$\odot O$的直径
∴$∠ABC=90°$
∴$∠EAC=∠ACB+∠BAC=90°$
∴$AE$与$\odot O$相切
解$:(2)$相似，理由如下：
∵$△AEF$是直角三角形，点$B$是$EF$的中点
∴$BA=BF$
∴$∠BAC=∠AFE$
∵$∠EAF=∠ABC=90°$
∴$△AEF∽△BCA$
解$:(3)$∵$△AEF∽△BCA$
∴$\frac {AF}{AB}=\frac {EF}{AC}$
∵$AF=4，$$CF=2$
∴$AC=6$
∵$AB=\frac 12EF$
∴$\frac 4{\frac 12EF}=\frac {EF}6$
∴$EF=4\sqrt 3$
在$Rt△AEF $中，∵$EF=4\sqrt 3，$$AF=4$
∴$AE=\sqrt {EF^2-AF^2}=4\sqrt 2$
12. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = 5$，$AC = 4$，$BC = 3$，$PQ // AB$，分别交两边 $AC$、$BC$ 于点 $P$、$Q$.
(1) $\triangle PQC$ 的面积与四边形 $PABQ$ 的面积相等时，求 $CP$ 的长.
(2) $\triangle PQC$ 的周长与四边形 $PABQ$ 的周长相等时，求 $CP$ 的长.
(3) 在 $AB$ 上是否存在点 $M$，使得 $\triangle PQM$ 为等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出 $PQ$ 的长.
答案：解：$(1)$∵$△PQC$的面积与四边形$PABQ$的面积相等
∴$S_{△ABC}=2S_{△PQC}$
∵$PQ//AB$
∴$△ABC∽△PQC$
∴$\frac {CP}{AC}=\frac {\sqrt 2}2$
∵$AC=4$
∴$CP=2\sqrt 2$
$(2)$∵$△ABC∽△PQC$
∴$\frac {CP}{CQ}=\frac {AC}{BC}=\frac 43$
设$CP=4x，$则$CQ=3x，$$PA=4-4x，$$QB=3-3x$
∵$△PQC$的周长与四边形$PABQ$的周长相等
∴$CP+CQ=PA+QB+AB$
∴$4x+3x=(4-4x)+(3-3x)+5$
解得$x=\frac 67$
∴$CP=4x=\frac {24}{7}$
$$解$:(3)$分两种情况
$①$过点$P$作$PM⊥AB，$$$垂足为点$M，$$$
要使$△PQM$为等腰直角三角形，
则$PM=PQ$
∵$△PQC∽△ABC，$$PM=PQ$
∴$\frac {PQ}5=\frac {\frac {12}{5}-PM}{\frac {12}{5}}=\frac {\frac {12}{5}-PQ}{\frac {12}{5}}$
∴$PQ=\frac {60}{37}$
$②$当$∠PMQ=90°$时，
要使$△PQM$为等腰直角三角形，
则有$\frac {PQ}5=\frac {\frac {12}{5}-\frac 12PQ}{\frac {12}{5}}$
解得$PQ=\frac {120}{49}$
综上所述，$PQ$的长为$\frac {60}{37}$或$\frac {120}{49}$
