1. 已知$C$是线段$AB$的黄金分割点，如果$AC:BC\approx 0.618$，那么$BC:AB\approx$
0.618
，$AC:AB\approx$
0.382
(精确到$0.001$).
答案：1. 0.618 0.382
2. 如图，$C$是线段$AB$的黄金分割点$(AC＞BC)$，且$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则$AB=$
1
，$BC=$
$\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$
.
答案：2. 1 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$
解析：
解：因为$C$是线段$AB$的黄金分割点$(AC ＞ BC)$，所以$AC = \frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$。
已知$AC = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则$\frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，解得$AB = 1$。
$BC = AB - AC = 1 - \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{2 - (\sqrt{5}-1)}{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$。
1；$\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$
3. 在音乐的曲式结构中，常引用黄金分割来安排乐曲高潮点，即高潮前小节数与全曲小节数的比值为黄金比. 如$F$. 肖邦某部作品的第一首前奏曲，全曲$34$小节，高潮正好发生在
21
小节(精确到$1$小节).
答案：3. 21
解析：
设高潮前小节数为$x$，全曲小节数为$n = 34$，黄金比$\phi=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$。
由题意得$\frac{x}{n}=\phi$，则$x = n\phi\approx34×0.618\approx21$。
21
4. 若一个矩形的宽与长之比为黄金比，则这个矩形称为黄金矩形，它给人以美感. 古希腊的帕提侬神庙(Parthenon Temple)的正面可以近似看作一个黄金矩形. 若该黄金矩形的长为$31m$，则其宽约为
19.2
$m$(精确到$0.1m$).
答案：4. 19.2
解析：
黄金比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，宽 = 长×黄金比，即$31×\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx31×0.618\approx19.2$
5. 点$C$在线段$AB$上，且$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$. 下列说法中，错误的是(
C
).
A.点$C$是线段$AB$的黄金分割点
B.$BC$与$AC$的比是黄金比
C.$AB$与$AC$的比是黄金比
D.$AC$与$AB$的比是黄金比
答案：5. C
解析：
设线段$AB$的长度为$1$，$AC$的长度为$x$，则$BC$的长度为$1 - x$。
由$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$，可得$\frac{x}{1}=\frac{1 - x}{x}$，即$x^2 = 1 - x$，$x^2 + x - 1 = 0$。
解得$x=\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$（负值舍去），此值为黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
A. 点$C$是线段$AB$的黄金分割点，正确；
B. $\frac{BC}{AC}=\frac{1 - x}{x}=\frac{1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} - 1=\frac{2}{\sqrt{5}-1}-1=\sqrt{5}-1$，不是黄金比，错误；
C. $\frac{AB}{AC}=\frac{1}{x}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\sqrt{5}+1$，不是黄金比，正确；
D. $\frac{AC}{AB}=x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，是黄金比，正确。
C
6. 如图，在五角星形中，$C$、$D$是$AB$的两个黄金分割点. 若$CD = 1$，则$AB=$
$\sqrt{5}$ + 2
.
答案：6. $\sqrt{5}$ + 2
解析：
解：设 $ AB = x $，黄金分割比为 $ \frac{\sqrt{5}-1}{2} $。
因为 $ C $、$ D $ 是 $ AB $ 的黄金分割点，不妨设 $ AC ＞ CB $，$ AD ＜ DB $，则：
$ AC = DB = \frac{\sqrt{5}-1}{2}x $
$ AD = AB - DB = x - \frac{\sqrt{5}-1}{2}x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}x $
$ CD = AC - AD = \frac{\sqrt{5}-1}{2}x - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}x = (\sqrt{5} - 2)x $
已知 $ CD = 1 $，则 $ (\sqrt{5} - 2)x = 1 $，解得 $ x = \frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \sqrt{5} + 2 $
$ AB = \sqrt{5} + 2 $
7. 研究表明，当人的下肢长与身高的比为$0.618$时，看起来较美. 某女士身高为$169cm$，其下肢长约为
104
$cm$(精确到$1cm$)，就能符合上述比例.
答案：104
8. 如图，$C$是$AB$的黄金分割点，那么$\frac{AC}{AB}$与$\frac{AC}{BC}$的值分别是(
B
).
A.$\frac{\sqrt{5}+1}{2},\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}-1}{2},\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}-1}{2},\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{5}+1}{2},\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
答案：B
