19. 如图,一束光从$y$轴上的点$A(0,1)$射向$x$轴上的点$C$,经$x$轴反射后通过点$B(6,2)$. 此光束从点$A$到点$B$所经路线的长度为(
B
).
A.$6$
B.$3\sqrt{5}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$8$
答案：1. 首先，根据光的反射原理：
作点$A(0,1)$关于$x$轴的对称点$A'(0, - 1)$。
因为$A$与$A'$关于$x$轴对称，所以$AC = A'C$（根据轴对称的性质：对称轴上的点到两个对称点的距离相等）。
那么光束从$A$到$B$所经路线的长度$AC + CB$就等于$A'C+CB$。
根据两点之间线段最短，$A'C + CB=A'B$。
2. 然后，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$：
已知$A'(0,-1)$，$B(6,2)$，这里$x_1 = 0$，$y_1=-1$，$x_2 = 6$，$y_2 = 2$。
代入公式$A'B=\sqrt{(6 - 0)^2+(2+1)^2}$。
先计算括号内的值：$(6 - 0)^2=36$，$(2 + 1)^2 = 9$。
则$A'B=\sqrt{36 + 9}$。
再计算$36+9 = 45$，所以$A'B=\sqrt{45}$。
对$\sqrt{45}$进行化简，$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}$。
根据$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a\geqslant0,b\geqslant0)$，可得$\sqrt{9×5}=\sqrt{9}·\sqrt{5}=3\sqrt{5}$。
所以此光束从点$A$到点$B$所经路线的长度为$3\sqrt{5}$，答案是B。
20. 身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加放风筝比赛,四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的),则四名同学所放的风筝中最高的是(
D
).
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案：D
21. (10分)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AD$是角平分线,$BD = 5$,$CD = 4$,$AB = 15$. 求:
(1)$\triangle ABD$的面积;
(2)$\sin B$的值;
(3)$\tan \angle BAD$的值.
答案：解：(1)在Rt△ABC中，∵BD=5，CD=4，AB=15
∴BC=9
∴$AC=\sqrt {AB^2-BC^2}=12$
∴$S_{△ABD}=\frac 12BD×AC=30$
(2)在Rt△ABC中，∵AC=12，AB=15
∴$sinB=\frac {AC}{AB}=\frac 45$
(3)∵AD是角平分线
∴∠BAD=∠CAD
在Rt△ACD中，∵CD=4，AC=12
∴$tan∠BAD=tan∠CAD=\frac {CD}{AC}=\frac 13$
22. (10分)一副三角尺如图放置,$\angle F = \angle ACB = 90^{\circ}$,点$C$在$FD$的延长线上,$AB // CF$,$\angle E = 45^{\circ}$,$\angle A = 60^{\circ}$. 若$AC = 10$,求$CD$的长(保留根号).
答案：解：过点B作BM⊥FD，垂足为点M
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10
∴$BC=ACtan 60°=10\sqrt 3$
∵AB//CF
∴∠BCM=∠ABC=30°
∴$BM=BC · sin 30°=5\sqrt 3，$$CM=\sqrt 3BM=15$
∵∠BDM=45°
∴$DM=BM=5\sqrt 3$
∴$CD=CM-DM=15-5\sqrt 3$
23. (10分)如图,某幢大楼顶部有一块广告牌$CD$,甲、乙两人分别在$A$、$B$两处,甲测得点$D$的仰角为$45^{\circ}$,乙测得点$C$的仰角为$60^{\circ}$,已知两人使用的测角仪的高度$AF$、$BG$相等,且$A$、$B$、$E$三点在一条直线上,$AB = 8\ \mathrm{m}$,$BE = 15\ \mathrm{m}$. 求广告牌$CD$的高(精确到$1\ \mathrm{m}$).
答案：解：在Rt△ADE中，∵AB=8，BE=15
∴AE=AB+BE=23
∵∠DAE=45°
∴DE=AE=23
在Rt△CBE中，∵BE=15，∠CBE=60°
∴$CE=BE · tan 60°=15\sqrt 3$
∴$CD=CE-DE=15\sqrt 3-23≈3$
∴广告牌CD的高为3米
