答案：
分析：“线段之差最大”问题和较为熟悉的“线段之和最小”问题本质上是相通的，前者是通过对称转化为“两点之间线段最短”问题，而后者(本题)是通过对称转化为“三角形两边之差小于第三边”问题.
解：如图，作点$ B $关于$ x $轴的对称点$ B' $，连接$ AB' $并延长与$ x $轴相交，则交点即为所求的点$ M $. 此时$ AM - BM = AM - B'M = AB' $.
不妨在$ x $轴上任取另一点$ M' $，连接$ M'A、M'B、M'B' $，
则$ M'A - M'B = M'A - M'B' ＜ AB' $(三角形两边之差小于第三边).
$ \therefore M'A - M'B ＜ AM - BM $，即此时$ AM - BM $最大.
$ \because $点$ B' $是$ B(3,-1) $关于$ x $轴的对称点，
$ \therefore $点$ B' $的坐标为$ (3,1) $.
把经过$ A、B' $两点的直线看作一次函数的图像，并设这个一次函数的表达式为$ y = kx + b $，把$ x = 1、y = 5 $和$ x = 3、y = 1 $代入，
得$ \begin{cases} k + b = 5, \\ 3k + b = 1. \end{cases} $解得$ \begin{cases} k = -2, \\ b = 7. \end{cases} $
这个一次函数的表达式为$ y = -2x + 7 $.
令$ y = 0 $，解得$ x = \dfrac{7}{2} $，
$ \therefore $点$ M $的坐标为$ \left( \dfrac{7}{2},0 \right) $.