5. 在$△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$a=\sqrt{3}$，则$b=$
1
.
答案：5. 1
解析：
在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，则$∠B=30^{\circ}$。
因为$\tan B=\dfrac{b}{a}$，$a=\sqrt{3}$，$∠B=30^{\circ}$，$\tan 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
所以$b=a·\tan B=\sqrt{3}×\dfrac{\sqrt{3}}{3}=1$。
1
6. 在$△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，若$3AC=\sqrt{3}BC$，则$∠ A$的度数是
$60^{\circ}$
，$\cos B=$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
.
答案：6. $60^{\circ}$；$\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析：
在$△ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，
因为$3AC=\sqrt{3}BC$，所以$\frac{BC}{AC}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$，
在$Rt△ABC$中，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\sqrt{3}$，所以$∠A=60^{\circ}$，
则$∠B=90^{\circ}-∠A=30^{\circ}$，
所以$\cos B=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
$60^{\circ}$；$\frac{\sqrt{3}}{2}$
7. 反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象经过点$(\tan45^{\circ},\cos60^{\circ})$，则$k=$
$\frac{1}{2}$
.
答案：7. $\frac{1}{2}$
解析：
解：因为$\tan45^{\circ}=1$，$\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$，所以反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象经过点$(1,\frac{1}{2})$。将点$(1,\frac{1}{2})$代入$y = \frac{k}{x}$，可得$\frac{1}{2}=\frac{k}{1}$，解得$k=\frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$
8. 求适合下列各式的角$x(0^{\circ}＜ x＜90^{\circ})$.
（1）$2\sin x-\sqrt{3}=0$；
（2）$\sqrt{3}\tan(x+10^{\circ})=1$.
答案：8. (1) $60^{\circ}$；(2) $20^{\circ}$
解析：
（1）$2\sin x - \sqrt{3} = 0$
$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$x = 60^{\circ}$
（2）$\sqrt{3}\tan(x + 10^{\circ}) = 1$
$\tan(x + 10^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$x + 10^{\circ} = 30^{\circ}$
$x = 20^{\circ}$
9. 已知$2-\sqrt{3}$是方程$x^{2}-8\sinθ· x+1=0$的一个根，求锐角$θ$的度数.
答案：9. $30^{\circ}$
解析：
设方程的另一个根为$x_2$，
因为$2 - \sqrt{3}$是方程$x^2 - 8\sinθ · x + 1 = 0$的一个根，
由韦达定理得$(2 - \sqrt{3})x_2 = 1$，
解得$x_2 = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$，
又由韦达定理得$(2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 8\sinθ$，
即$4 = 8\sinθ$，
所以$\sinθ = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$，
因为$θ$为锐角，
所以$θ = 30°$。
自主拓展
如图(1)，在锐角$△ ABC$中，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，$AD⊥ BC$于点$D$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$\sin B=\dfrac{AD}{c}$，$AD=c\sin B$；在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\sin C=$
$\frac{AD}{b}$
，则$AD=$
$b\sin C$
.所以，$c\sin B=b\sin C$，即$\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$，进一步得正弦定理：$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$(此定理适合任意锐角三角形).
利用正弦定理解答下面的问题：
如图(2)，在$△ ABC$中，$∠ B=75^{\circ}$，$∠ C=45^{\circ}$，$BC=2$，求$AB$的长.
答案：$\sin C=\frac{AD}{b}$，$AD = b\sin C$；在$△ ABC$中，$∠ B = 75^{\circ}$，$∠ C = 45^{\circ}$，$∠ A = 180^{\circ}-75^{\circ}-45^{\circ}=60^{\circ}$，所以$△ ABC$是锐角三角形，根据正弦定理得，$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$，所以$\frac{2}{\sin 60^{\circ}}=\frac{c}{\sin 45^{\circ}}$，所以$c=\frac{2\sin 45^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}=\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，所以$AB=\frac{2\sqrt{6}}{3}$.
1. 如图，$△ ABC$的顶点是正方形网格的格点，则$\sin A$的值为(
B
)
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
D.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
答案：1. B
