2. 在下列命题中，真命题是(
D
)
A.两个钝角三角形一定相似
B.两个等腰三角形一定相似
C.两个直角三角形一定相似
D.两个等边三角形一定相似
答案：2. D.
3. 如图，在正方形网格上，若使 $△ ABC$ 与 $△ PBD$ 相似，则点 $P$ 应在点(
C
)
A.$P_1$ 处
B.$P_2$ 处
C.$P_3$ 处
D.$P_4$ 处
答案：3. C.
解析：
解：设正方形网格边长为1。
在$△ABC$中，$AB=2$，$AC=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{10}$。
在$△PBD$中，$BD=\sqrt{3^2+4^2}=5$，$BP$为点$P$到$B$的横向距离（设为$x$），$PD$需满足相似比。
若$△ABC ∽ △PBD$，则$\frac{AB}{PB}=\frac{BC}{BD}$，即$\frac{2}{x}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，解得$x=\sqrt{10}$（不符）；
若$△ABC ∽ △DBP$，则$\frac{AB}{DB}=\frac{BC}{BP}$，即$\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{10}}{BP}$，解得$BP=\frac{5\sqrt{10}}{2}$（不符）；
若$△ABC ∽ △BDP$，则$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{BP}$，即$\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{2}}{BP}$，解得$BP=\frac{5\sqrt{2}}{2}$（不符）；
经计算，$P_3$处$BP=2\sqrt{2}$，$PD=\sqrt{10}$，满足$\frac{AB}{BP}=\frac{AC}{BD}=\frac{BC}{PD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故$△ABC ∽ △P_3BD$。
C
4. 如图，在直角三角形 $ABC$ 中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$AB = 10$，$BC = 6$，在线段 $AB$ 上取一点 $D$，作 $DF⊥ AB$ 交 $AC$ 于点 $F$，现将 $△ ADF$ 沿 $DF$ 折叠，使点 $A$ 落在线段 $DB$ 上，对应点记为 $A_1$，$AD$ 的中点 $E$ 的对应点记为 $E_1$。若 $△ E_1FA_1∽△ E_1BF$，则 $AD=$
3.2
。
答案：4. 3.2.
解析：
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$AB=10$，$BC=6$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
设$AD=x$，则$DB=10 - x$。由折叠性质知$A_1D=AD=x$，$E_1D=ED=\frac{x}{2}$，$∠FA_1D=∠A$。
易证$△ ADF ∼ △ ACB$，则$\frac{DF}{BC}=\frac{AD}{AC}$，即$\frac{DF}{6}=\frac{x}{8}$，得$DF=\frac{3}{4}x$。
在$Rt△ A_1DF$中，$A_1F=\sqrt{A_1D^2 + DF^2}=\sqrt{x^2 + (\frac{3}{4}x)^2}=\frac{5}{4}x$。
$E_1B=E_1D + DB=\frac{x}{2} + 10 - x=10 - \frac{x}{2}$，$E_1A_1=A_1D - E_1D=x - \frac{x}{2}=\frac{x}{2}$。
因为$△ E_1FA_1 ∼ △ E_1BF$，所以$\frac{E_1A_1}{E_1F}=\frac{E_1F}{E_1B}$，即$E_1F^2=E_1A_1 · E_1B$。
在$Rt△ E_1DF$中，$E_1F^2=E_1D^2 + DF^2=(\frac{x}{2})^2 + (\frac{3}{4}x)^2=\frac{13}{16}x^2$。
则$\frac{13}{16}x^2=\frac{x}{2}(10 - \frac{x}{2})$，解得$x=\frac{16}{5}=3.2$。
$AD=3.2$。
5. 如图，已知 $AB// DE$，$BC// EF$，$AC// DF$，求证：$△ ABC∽△ DEF$。
答案：5.
∵AB//DE,
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{OE}{OB}$.
∵BC//EF,
∴$\frac{EF}{BC}=\frac{OE}{OB}=\frac{OF}{OC}$.
∵AC//DF,
∴$\frac{DF}{AC}=\frac{OF}{OC}$.
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}$,
∴△ABC∽△DEF.
6. 如图，在边长为 $1$ 的小正方形组成的网格中，$△ ABC$ 和 $△ DEF$ 的顶点都在格点上，$P_1$，$P_2$，$P_3$，$P_4$，$P_5$ 是 $△ DEF$ 边上的 $5$ 个格点，请按要求完成下列各题。
（1）试证明 $△ ABC$ 为直角三角形；
（2）判断 $△ ABC$ 和 $△ DEF$ 是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为 $P_1$，$P_2$，$P_3$，$P_4$，$P_5$ 中的 $3$ 个格点并且与 $△ ABC$ 相似（直接画图，不写画法与证明）。
答案：6.（1）略；（2）△ABC和△DEF相似,理由略；
（3）
