22. （10 分）如图，一次函数 $ y = kx + b $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{m}{x}(x ＞ 0) $ 的图象在第一象限交于点 $ A $，$ B $，且该一次函数的图象与 $ y $ 轴正半轴交于点 $ C $，过 $ A $，$ B $ 分别作 $ y $ 轴的垂线，垂足分别为 $ E $，$ D $。已知 $ A(4,1) $，$ CE = 4CD $。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）根据图象直接写出 $ \frac{m}{x} ＜ kx + b $ 时 $ x $ 的取值范围；
（4）若点 $ M $ 为一次函数图象上的动点，过点 $ M $ 作 $ MN // y $ 轴，交反比例函数 $ y = \frac{m}{x}(x ＞ 0) $ 的图象于点 $ N $，连接 $ ME $，$ NE $，当 $ △ MNE $ 的面积为 $ \frac{9}{8} $ 时，直接写出点 $ M $ 的横坐标。
答案：22. (1) $ y = \frac{4}{x} $; (2) $ y = -x + 5 $; (3) 由图象可知: $ \frac{m}{x} ＜ kx + b $ 时 $ x $ 的取值范围是 $ 1 ＜ x ＜ 4 $; (4) $ M $ 的横坐标。
解析：
（1）解：
∵点$A(4,1)$在反比例函数$y = \frac{m}{x}$的图象上，
$\therefore 1=\frac{m}{4}$，解得$m = 4$，
$\therefore$反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$。
（2）解：设点$B$的坐标为$(a,\frac{4}{a})$，
$\because AE⊥ y$轴，$BD⊥ y$轴，$A(4,1)$，
$\therefore E(0,1)$，$D(0,\frac{4}{a})$，
$\because$一次函数$y = kx + b$与$y$轴正半轴交于点$C$，
$\therefore C(0,b)$，且$b＞0$，
$\because CE = 4CD$，$CE = b - 1$，$CD = b-\frac{4}{a}$，
$\therefore b - 1 = 4(b-\frac{4}{a})$，即$4×\frac{4}{a}-1 = 3b$，$\frac{16}{a}-1 = 3b$①，
$\because$点$A(4,1)$，$B(a,\frac{4}{a})$在一次函数$y = kx + b$的图象上，
$\therefore\begin{cases}4k + b = 1\\ak + b=\frac{4}{a}\end{cases}$，两式相减得$k(a - 4)=\frac{4}{a}-1$，$k=\frac{\frac{4}{a}-1}{a - 4}=-\frac{1}{a}$，
将$k = -\frac{1}{a}$代入$4k + b = 1$得$-\frac{4}{a}+b = 1$，$b = 1+\frac{4}{a}$②，
把②代入①得$\frac{16}{a}-1 = 3(1+\frac{4}{a})$，解得$a = 1$，
$\therefore b = 1+\frac{4}{1}=5$，$k = -\frac{1}{1}=-1$，
$\therefore$一次函数的解析式为$y=-x + 5$。
（3）$1 ＜ x ＜ 4$
（4）解：设点$M$的横坐标为$t(t＞0)$，则$M(t,-t + 5)$，$冷轩冷轩N(t,\frac{4}{t})$，
$\because MN// y$轴，$E(0,1)$，
$\therefore△ MNE$的面积为$\frac{1}{2}×|t - 0|×|(-t + 5)-\frac{4}{t}|=\frac{9}{8}$，
即$\frac{1}{2}t| - t + 5-\frac{4}{t}|=\frac{9}{8}$，$t| - t + 5-\frac{4}{t}|=\frac{9}{4}$，
当$-t + 5-\frac{4}{t}≥0$时，$t(-t + 5-\frac{4}{t})=\frac{9}{4}$，$-t^{2}+5t - 4=\frac{9}{4}$，$4t^{2}-20t + 25 = 0$，$(2t - 5)^{2}=0$，$t=\frac{5}{2}$，
当$-t + 5-\frac{4}{t}＜0$时，$t(t - 5+\frac{4}{t})=\frac{9}{4}$，$t^{2}-5t + 4=\frac{9}{4}$，$4t^{2}-20t + 7 = 0$，$t=\frac{20\pm\sqrt{400 - 112}}{8}=\frac{20\pm\sqrt{288}}{8}=\frac{20\pm12\sqrt{2}}{8}=\frac{5\pm3\sqrt{2}}{2}$，
$\because t＞0$，$\frac{5 - 3\sqrt{2}}{2}\approx\frac{5 - 4.24}{2}\approx0.38＞0$，$\frac{5 + 3\sqrt{2}}{2}\approx\frac{5 + 4.24}{2}\approx4.62＞0$，
$\therefore t=\frac{5}{2}$或$t=\frac{5 + 3\sqrt{2}}{2}$或$t=\frac{5 - 3\sqrt{2}}{2}$。
23. （10 分）如图，已知双曲线 $ y = \frac{k}{x} $ 经过点 $ D(6,1) $，点 $ C $ 是双曲线在第三象限上的动点，过点 $ C $ 作 $ CA ⊥ x $ 轴，过点 $ D $ 作 $ DB ⊥ y $ 轴，垂足分别为 $ A $，$ B $，连接 $ AB $，$ BC $。
（1）求 $ k $ 的值；
（2）若 $ △ BCD $ 的面积为 12，求直线 $ CD $ 的解析式；
（3）判断 $ AB $ 与 $ CD $ 的位置关系，并说明理由。
答案：23. (1) $ k = 6 $; (2) 设 $ C(x_{0},\frac{6}{x_{0}})(x_{0}＜0) $，因为 $ D(6,1) $，$ B(0,1) $，$ S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×|x_{0}|×(1 - \frac{6}{x_{0}})=12 $，即$-\frac{1}{2}x_{0}+3 = 12 $，解得 $ x_{0}=-18 $，则 $ C(-18,-\frac{1}{3}) $。设直线 $ CD $ 的解析式为 $ y = ax + b $，把 $ C(-18,-\frac{1}{3}) $，$ D(6,1) $代入可得$\begin{cases}-18a + b=-\frac{1}{3}\\6a + b = 1\end{cases}$，两式相减得：$24a=\frac{4}{3}$，$ a=\frac{1}{18} $，把 $ a=\frac{1}{18} $代入$6a + b = 1$得$\frac{1}{3}+b = 1$，$ b=\frac{2}{3} $，所以直线 $ CD $ 的解析式为 $ y=\frac{1}{18}x+\frac{2}{3} $；(3) $ AB// CD $。理由：因为 $ A(-18,0) $，$ B(0,1) $，所以直线 $ AB $ 的斜率 $ k_{AB}=\frac{1 - 0}{0+18}=\frac{1}{18} $，直线 $ CD $ 的斜率 $ k_{CD}=\frac{1}{18} $，$ k_{AB}=k_{CD} $，所以 $ AB// CD $，直线 $ AB $ 与 $ CD $ 的位置关系是平行，直线 $ AB $ 与 $ CD $ 可由 $ y = \frac{1}{2}x $ 通过平移得到。
解析：
（1）解：因为双曲线$y = \frac{k}{x}$经过点$D(6,1)$，所以将$D(6,1)$代入$y = \frac{k}{x}$，得$1=\frac{k}{6}$，解得$k = 6$。
（2）解：由（1）知双曲线解析式为$y=\frac{6}{x}$，设$C(x_{0},\frac{6}{x_{0}})(x_{0}＜0)$。因为$D(6,1)$，$DB⊥y$轴，所以$B(0,1)$。$S_{△BCD}=\frac{1}{2}×|x_{0}|×(1 - \frac{6}{x_{0}})=12$，即$-\frac{1}{2}x_{0}+3 = 12$，解得$x_{0}=-18$，则$C(-18,-\frac{1}{3})$。设直线$CD$的解析式为$y = ax + b$，把$C(-18,-\frac{1}{3})$，$D(6,1)$代入得$\begin{cases}-18a + b=-\frac{1}{3}\\6a + b = 1\end{cases}$，两式相减得$24a=\frac{4}{3}$，$a=\frac{1}{18}$，把$a=\frac{1}{18}$代入$6a + b = 1$得$\frac{1}{3}+b = 1$，$b=\frac{2}{3}$，所以直线$CD$的解析式为$y=\frac{1}{18}x+\frac{2}{3}$。
（3）解：$AB// CD$。理由：因为$C(-18,-\frac{1}{3})$，$CA⊥x$轴，所以$A(-18,0)$，又$B(0,1)$，直线$AB$的斜率$k_{AB}=\frac{1 - 0}{0 - (-18)}=\frac{1}{18}$，直线$CD$的斜率$k_{CD}=\frac{1}{18}$，$k_{AB}=k_{CD}$，所以$AB// CD$。
