14. 已知 $ P_1(x_1,y_1) $，$ P_2(x_2,y_2) $ 两点都在反比例函数 $ y = \frac{k^2 + 1}{x} $ 的图象上，且 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 0 $，则 $ y_1 \_\_\_\_\_\_ y_2 $(填“$ ＞ $”或“$ ＜ $”)。
答案：14. $ ＞ $.
解析：
因为$k^2≥0$，所以$k^2 + 1≥1$，即反比例函数$y = \frac{k^2 + 1}{x}$的比例系数大于$0$，其图象在第一、三象限，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。
已知$x_1＜x_2＜0$，两点均在第三象限，由于在第三象限内$y$随$x$的增大而减小，且$x_1＜x_2$，所以$y_1＞y_2$。
$＞$
15. 如图是从原点开始的通道宽度为 1 的回形图，$ OA = 1 $，反比例函数 $ y = \frac{1}{x} $ 与该回形图的交点依次记为 $ B_1 $，$ B_2 $，$ B_3 $，…，则 $ B_{2024} $ 的坐标为
$ (\frac{1}{507}, 507) $
。
答案：15. $ (\frac{1}{507}, 507) $.
解析：
解：观察回形图可知，交点坐标规律如下：
第1象限：$B_1(1,1)$，$B_4(\frac{1}{2},2)$，$B_8(\frac{1}{3},3)$，…，第$4k$个点坐标为$(\frac{1}{k+1},k+1)$（$k$为正整数）。
因为$2024=4×506$，所以$k=506$。
则$B_{2024}$的坐标为$(\frac{1}{506+1},506+1)=(\frac{1}{507},507)$。
$(\frac{1}{507}, 507)$
16. 如图，过 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上点 $ A $，分别作 $ x $ 轴，$ y $ 轴的平行线交 $ y = -\frac{1}{x} $ 的图象于 $ B $，$ D $ 两点，以 $ AB $，$ AD $ 为邻边的矩形 $ ABCD $ 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为 $ S_1 $，$ S_2 $，$ S_3 $，$ S_4 $，若 $ S_2 + S_3 + S_4 = \frac{5}{2} $，则 $ k $ 的值为
2
。
答案：16. 2.
解析：
解：设点$A(a,\dfrac{k}{a})$（$a＞0$）。
因为$AB// y$轴，$AD// x$轴，所以点$B$的横坐标为$a$，点$D$的纵坐标为$\dfrac{k}{a}$。
点$B$在$y=-\dfrac{1}{x}$上，可得$B(a,-\dfrac{1}{a})$；点$D$在$y=-\dfrac{1}{x}$上，可得$D(-\dfrac{a}{k},\dfrac{k}{a})$。
矩形$ABCD$中，$S_1$为第一象限小矩形，面积$S_1 = a·\dfrac{k}{a}=k$。
$S_2$为第二象限小矩形，面积$S_2 = a·\left|-\dfrac{1}{a}\right|=1$；$S_3$为第三象限小矩形，面积$S_3=\left|-\dfrac{a}{k}\right|·\left|-\dfrac{1}{a}\right|=\dfrac{1}{k}$；$S_4$为第四象限小矩形，面积$S_4=\left|-\dfrac{a}{k}\right|·\dfrac{k}{a}=1$。
已知$S_2 + S_3 + S_4=\dfrac{5}{2}$，即$1+\dfrac{1}{k}+1=\dfrac{5}{2}$，解得$k=2$。
$2$
17. 在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为 5 个单位长度的等腰直角三角板 $ ABC $ 摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边 $ AC $，$ BC $ 分别落在 $ x $ 轴负半轴、$ y $ 轴正半轴上(如图所示)，然后将三角板向右平移 $ a $ 个单位长度，再向下平移 $ a $ 个单位长度后，小明发现 $ A $，$ B $ 两点恰好都落在函数 $ y = \frac{6}{x} $ 的图象上，则 $ a $ 的值为
2 或 3
。
答案：17. 2 或 3.
解析：
解：由题意知，初始时等腰直角三角板 $ABC$ 的直角边 $AC$、$BC$ 分别在 $x$ 轴负半轴、$y$ 轴正半轴，直角边长为 5，故点 $A(-5,0)$，$B(0,5)$。
平移后，点 $A$ 的坐标为 $(-5 + a, 0 - a)$，点 $B$ 的坐标为 $(0 + a, 5 - a)$。
因为平移后 $A$、$B$ 两点在 $y = \frac{6}{x}$ 上，所以：
对 $A$ 点：$(-5 + a)(-a) = 6$，即 $a^2 - 5a - 6 = 0$，解得 $a = 6$（舍去）或 $a = -1$（舍去）；
对 $B$ 点：$a(5 - a) = 6$，即 $a^2 - 5a + 6 = 0$，解得 $a = 2$ 或 $a = 3$。
综上，$a$ 的值为 $2$ 或 $3$。
2 或 3
三、解答题（共 6 小题，共 49 分）
18. （6 分）如图，直线 $ y = x + 2 $ 与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象交于 $ A $，$ B $ 两点，与 $ x $ 轴的交点为 $ C $，与 $ y $ 轴的交点为 $ D $，点 $ D $ 为线段 $ AC $ 的中点。
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点 $ P $ 为反比例函数图象上一点，且在直线 $ AB $ 的下方，当 $ S_{△ ACP} = 8 $ 时，求点 $ P $ 的坐标。
答案：18. (1) $ y = \frac{8}{x} $; (2) 点 $ P $ 的坐标为 $ (4, 2) $ 或 $ (-2, -4) $.
解析：
（1）解：在直线$y = x + 2$中，令$x = 0$，得$y = 2$，则$D(0, 2)$。
设$A(m, m + 2)$，$C(n, 0)$。
因为$D$为线段$AC$的中点，所以$\begin{cases}\dfrac{m + n}{2} = 0 \\ \dfrac{(m + 2) + 0}{2} = 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 2 \\ n = -2\end{cases}$，即$A(2, 4)$。
将$A(2, 4)$代入$y = \dfrac{k}{x}$，得$4 = \dfrac{k}{2}$，解得$k = 8$，故反比例函数表达式为$y = \dfrac{8}{x}$。
（2）解：由（1）知$C(-2, 0)$，$A(2, 4)$，则$AC$的长度为$\sqrt{(2 - (-2))^2 + (4 - 0)^2} = 4\sqrt{2}$。
设点$P(t, \dfrac{8}{t})$，直线$AC$的方程为$y = x + 2$，点$P$到直线$AC$的距离$d = \dfrac{\left|t - \dfrac{8}{t} + 2\right|}{\sqrt{2}}$。
因为$S_{△ ACP} = 8$，所以$\dfrac{1}{2} × 4\sqrt{2} × \dfrac{\left|t - \dfrac{8}{t} + 2\right|}{\sqrt{2}} = 8$，即$\left|t - \dfrac{8}{t} + 2\right| = 4$。
当$t - \dfrac{8}{t} + 2 = 4$时，$t^2 - 2t - 8 = 0$，解得$t = 4$或$t = -2$。
当$t - \dfrac{8}{t} + 2 = -4$时，$t^2 + 6t - 8 = 0$，解得$t = -3 \pm \sqrt{17}$（此时点$P$在直线$AB$上方，舍去）。
经检验，$t = 4$时，$P(4, 2)$；$t = -2$时，$P(-2, -4)$，均在直线$AB$下方。
故点$P$的坐标为$(4, 2)$或$(-2, -4)$。
