自主探究
问题 已知函数 $ y = y_1 + y_2 $，$ y_1 $ 与 $ x $ 成正比例，$ y_2 $ 与 $ x $ 成反比例，且当 $ x = 1 $ 时，$ y = 4 $；当 $ x = 2 $ 时，$ y = 5 $.
（1）求 $ y $ 与 $ x $ 的函数解析式；
（2）当 $ x = -2 $ 时，求函数 $ y $ 的值.
名师指导
本题中，函数 $ y $ 是由 $ y_1 $ 和 $ y_2 $ 两个函数组成的，要用待定系数法来解答.先根据题意分别设出 $ y_1 $，$ y_2 $ 与 $ x $ 的函数解析式，再代入已知条件中的数值，通过解方程或方程组求出待定系数的值.这里要注意 $ y_1 $ 与 $ x $ 和 $ y_2 $ 与 $ x $ 的函数解析式中的待定系数不一定相同，故不能都设为 $ k $，为了区分开，要用不同的字母表示.
解题示范（学生在教师指导下，独立完成）
解：
答案：解：
（1）设$y_{1} = k_{1}x$，$y_{2} = \frac{k_{2}}{x}$，其中$k_{1} ≠ 0$，$k_{2} ≠ 0$，
根据题意，有$y = y_{1} + y_{2} = k_{1}x + \frac{k_{2}}{x}$，
将$x = 1$，$y = 4$和$x = 2$，$y = 5$代入上式，得到方程组：
$\{ \begin{array}{l}k_{1} + k_{2} = 4, \\2k_{1} + \frac{k_{2}}{2} =5.\end{array} $
解此方程组，得到：
$\{ \begin{array}{l}k_{1} = 2, \\k_{2} = 2.\end{array} $
所以，$y$与$x$的函数解析式为$y = 2x + \frac{2}{x}$。
（2）将$x = -2$代入$y = 2x + \frac{2}{x}$，得到：
$y = 2×(-2) + \frac{2}{-2} = -4 - 1 = -5$，
所以当$x = -2$时，函数$y$的值为$-5$。
1. 在反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x} $ 中，$ k $ 与 $ x $ 的取值情况是(
C
)
A.$ k ≠ 0 $，$ x $ 取全体实数
B.$ x ≠ 0 $，$ k $ 取全体实数
C.$ k ≠ 0 $，$ x ≠ 0 $
D.$ k $，$ x $ 都可取全体实数
答案：1. C.
2. 下列函数中，$ y $ 是 $ x $ 的反比例函数的有(
A
)
(1)$ y = 3x $；(2)$ y = -\dfrac{2}{x} $；(3)$ y = \dfrac{x}{3} $；(4)$ -xy = 3 $；(5)$ y = \dfrac{2}{x + 1} $；(6)$ y = \dfrac{1}{x^2} $；(7)$ y = 2x^{-2} $；(8)$ y = \dfrac{k}{x} $.
A.(2)(4)
B.(2)(3)(5)(8)
C.(2)(7)(8)
D.(1)(3)(4)(6)
答案：2. A.
3. 若 $ y $ 与 $ x $ 成反比例，$ x $ 与 $ \dfrac{4}{z} $ 成正比例，则 $ y $ 是 $ z $ 的(
A
)
A.正比例函数
B.反比例函数
C.一次函数
D.不能确定
答案：3. A.
解析：
因为$y$与$x$成反比例，所以设$y = \dfrac{k_1}{x}$（$k_1≠0$）。
因为$x$与$\dfrac{4}{z}$成正比例，所以设$x = k_2 · \dfrac{4}{z} = \dfrac{4k_2}{z}$（$k_2≠0$）。
将$x = \dfrac{4k_2}{z}$代入$y = \dfrac{k_1}{x}$，得$y = \dfrac{k_1}{\dfrac{4k_2}{z}} = \dfrac{k_1 z}{4k_2}$。
令$k = \dfrac{k_1}{4k_2}$（$k≠0$），则$y = kz$，所以$y$是$z$的正比例函数。
A
4. 若点 $ A(-2, 3) $，$ B(m, -6) $ 都在反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x} (k ≠ 0) $ 的图象上，则 $ m $ 的值是
1
.
答案：4. 1.
解析：
解：因为点$A(-2, 3)$在反比例函数$y = \dfrac{k}{x}$的图象上，所以$3 = \dfrac{k}{-2}$，解得$k = -6$，则反比例函数解析式为$y = \dfrac{-6}{x}$。
又因为点$B(m, -6)$在该函数图象上，所以$-6 = \dfrac{-6}{m}$，解得$m = 1$。
1
