26. (12 分)某笔直河道上有甲、乙两个港口相距 120 km，一艘轮船从甲港出发，顺流航行 4 h 到达乙港，休息 1 h 后立即返回；一艘快艇在轮船出发 3 h 后从乙港出发，逆流航行 3 h 到甲港，并立即返回(掉头时间忽略不计)。已知水流速度是 5 km/h，下图表示轮船和快艇距甲港的距离 $y$(km)与轮船出发时间 $x$(h)之间的函数关系，结合图象解答下列问题：(顺流速度 $=$ 船在静水中速度 $+$ 水流速度；逆流速度 $=$ 船在静水中速度 $ -$ 水流速度)
(1)轮船在静水中的速度是
25
km/h；快艇在静水中的速度是
45
km/h；
(2)求快艇返回时的解析式，写出自变量取值范围；
(3)快艇出发多长时间，轮船和快艇在途中相距 20 km？(直接写出结果)
答案：26. (1) 25,45；(2) $y = 50x - 300 (6≤ x≤8.4)$；(3) $\frac{1}{7}\mathrm{ h}$，$\frac{5}{7}\mathrm{ h}$，$\frac{29}{7}\mathrm{ h}$，$\frac{33}{7}\mathrm{ h}$
解析：
(1) 25, 45
(2) 设快艇返回时的解析式为$y = kx + b$。
快艇从乙港出发逆流航行3h到甲港，出发时间为轮船出发后3h，故到达甲港时间为$3 + 3 = 6$h，此时距甲港距离为0，即点$D(6, 0)$。
快艇在静水中速度为45km/h，水流速度5km/h，返回时顺流速度为$45 + 5 = 50$km/h，从甲港返回乙港需$\frac{120}{50} = 2.4$h，故返回结束时间为$6 + 2.4 = 8.4$h，此时距甲港120km，即点$(8.4, 120)$。
将$(6, 0)$，$(8.4, 120)$代入$y = kx + b$，得$\begin{cases}6k + b = 0 \\8.4k + b = 120\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 50 \\b = - 300\end{cases}$，所以解析式为$y = 50x - 300$，自变量取值范围$6≤ x≤8.4$。
(3)$\frac{1}{7}\mathrm{h}$，$\frac{5}{7}\mathrm{h}$，$\frac{29}{7}\mathrm{h}$，$\frac{33}{7}\mathrm{h}$
27. （10 分）若二次函数 $y = ax^{2}+bx + c(a≠0)$ 图象的顶点在一次函数 $y = kx + t(k≠0)$ 的图象上，则称 $y = ax^{2}+bx + c(a≠0)$ 为 $y = kx + t(k≠0)$ 的伴随函数，如：$y = x^{2}+1$ 是 $y = x + 1$ 的伴随函数。
（1）若 $y = x^{2}-4$ 是 $y = -x + p$ 的伴随函数，求直线 $y = -x + p$ 与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若函数 $y = mx - 3(m≠0)$ 的伴随函数 $y = x^{2}+2x + n$ 与 $x$ 轴两个交点间的距离为 4，求 $m$，$n$ 的值。
答案：27. (1) 8；(2) $m = 1$，$n = - 3$
解析：
（1）对于二次函数$y = x^{2}-4$，其顶点坐标为$(0, -4)$。因为$y = x^{2}-4$是$y = -x + p$的伴随函数，所以顶点$(0, -4)$在$y = -x + p$上，代入可得$-4 = -0 + p$，即$p = -4$，所以直线为$y = -x - 4$。
直线$y = -x - 4$与$x$轴交点，令$y = 0$，则$0 = -x - 4$，解得$x = -4$，交点为$(-4, 0)$；与$y$轴交点，令$x = 0$，则$y = -4$，交点为$(0, -4)$。
所以直线与两坐标轴围成的三角形的底为$\vert -4 \vert = 4$，高为$\vert -4 \vert = 4$，面积为$\frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$。
（2）二次函数$y = x^{2}+2x + n$，其顶点横坐标为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2×1} = -1$，将$x = -1$代入得顶点纵坐标为$y = (-1)^{2}+2×(-1) + n = 1 - 2 + n = n - 1$，所以顶点坐标为$(-1, n - 1)$。
因为$y = x^{2}+2x + n$是$y = mx - 3$的伴随函数，所以顶点$(-1, n - 1)$在$y = mx - 3$上，可得$n - 1 = -m - 3$，即$m = -n - 2$。
设二次函数$y = x^{2}+2x + n$与$x$轴的两个交点的横坐标为$x_1$，$x_2$，则$x_1 + x_2 = -2$，$x_1x_2 = n$。
两个交点间的距离为$\vert x_1 - x_2 \vert = 4$，根据$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，可得$4^2 = (-2)^2 - 4n$，即$16 = 4 - 4n$，解得$n = -3$。
将$n = -3$代入$m = -n - 2$，得$m = -(-3) - 2 = 3 - 2 = 1$。
综上，$m = 1$，$n = -3$。
