8. 一个形状为无盖圆锥的冰激凌纸筒，其底面直径为 6 cm，母线长为 5 cm，围成这样的冰激凌纸筒所需纸片的面积是(
D
)
A.$66π$ $cm^{2}$
B.$30π$ $cm^{2}$
C.$28π$ $cm^{2}$
D.$15π$ $cm^{2}$
答案：8. D
解析：
圆锥侧面积公式：$S = π r l$，其中$r$为底面半径，$l$为母线长。
底面直径为$6\,\mathrm{cm}$，则底面半径$r = \frac{6}{2} = 3\,\mathrm{cm}$，母线长$l = 5\,\mathrm{cm}$。
所需纸片面积为圆锥侧面积：$S = π × 3 × 5 = 15π\,\mathrm{cm}^2$。
D
9. 函数 $y = kx^{2}+(k - 3)x - 1$ 的图象与 $x$ 轴的交点个数为(
D
)
A.1
B.2
C.0 或 1
D.1 或 2
答案：9. D
解析：
当$k = 0$时，函数为一次函数$y=-3x - 1$，与$x$轴有1个交点；
当$k≠0$时，函数为二次函数，判别式$\Delta=(k - 3)^{2}-4k×(-1)=k^{2}-6k + 9 + 4k=k^{2}-2k + 9=(k - 1)^{2}+8$，
因为$(k - 1)^{2}≥0$，所以$\Delta=(k - 1)^{2}+8＞0$，二次函数与$x$轴有2个交点。
综上，函数图象与$x$轴的交点个数为1或2。
D
10. 如图，$△ ABC$ 是$\odot O$ 的内接三角形，且 $AB$ 是$\odot O$ 的直径，点 $P$ 为$\odot O$ 上的动点，且$∠ BPC = 60^{\circ}$，$\odot O$ 的半径为 6，则点 $P$ 到 $AC$ 距离的最大值是(
D
)
A.12
B.$3\sqrt{3}$
C.$6 - 3\sqrt{3}$
D.$6 + 3\sqrt{3}$
答案：10. D
解析：
证明：
∵AB是⊙O的直径，⊙O半径为6，
∴AB=12，∠ACB=90°（直径所对圆周角为直角）。
∵∠BPC=60°，
∴∠BAC=∠BPC=60°（同弧所对圆周角相等）。
在Rt△ABC中，∠BAC=60°，AB=12，
∴AC=AB·cos60°=12×$\frac{1}{2}$=6，
BC=AB·sin60°=12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$。
过O作OD⊥AC于D，延长DO交⊙O于P，此时点P到AC的距离最大。
∵OD⊥AC，O为AB中点，
∴OD是△ABC的中位线，OD=$\frac{1}{2}$BC=3$\sqrt{3}$。
∵OP=6（半径），
∴点P到AC的最大距离为OD+OP=3$\sqrt{3}$+6。
结论：点P到AC距离的最大值是$6 + 3\sqrt{3}$。
D
11. 据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在 10 年内帮助他居住小区的居民累计节水 300 000 吨。将 300 000 用科学记数法表示为
$3×10^5$
。
答案：11. $3×10^5$
12. 因式分解：$x^{4}-81=$
$(x^2 + 9)(x + 3)(x - 3)$
。
答案：12. $(x^2 + 9)(x + 3)(x - 3)$
13. 已知$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$，则分式$\frac{x^{2}-3xy + 2y^{2}}{x^{2}+2xy + y^{2}}=$
$\frac{4}{25}$
。
答案：13. $\frac{4}{25}$
解析：
$\because \frac{x}{y}=\frac{2}{3}$，设$x=2k$，$y=3k$（$k≠0$）。
$\frac{x^{2}-3xy + 2y^{2}}{x^{2}+2xy + y^{2}}=\frac{(2k)^{2}-3×2k×3k + 2×(3k)^{2}}{(2k)^{2}+2×2k×3k + (3k)^{2}}=\frac{4k^{2}-18k^{2}+18k^{2}}{4k^{2}+12k^{2}+9k^{2}}=\frac{4k^{2}}{25k^{2}}=\frac{4}{25}$。
$\frac{4}{25}$
14. 函数 $y = \frac{\sqrt{2x - 4}}{x - 3}$ 中自变量 $x$ 的取值范围是
$x≥2$，且 $x≠3$
。
答案：14. $x≥2$，且 $x≠3$
解析：
要使函数 $ y = \frac{\sqrt{2x - 4}}{x - 3} $ 有意义，需满足：
1. 根号下的数非负：$ 2x - 4 ≥ 0 $，解得 $ x ≥ 2 $；
2. 分母不为零：$ x - 3 ≠ 0 $，解得 $ x ≠ 3 $。
综上，自变量 $ x $ 的取值范围是 $ x ≥ 2 $，且 $ x ≠ 3 $。
$ x ≥ 2 $，且 $ x ≠ 3 $
15. 小华所在的中学共有 3 个年级，每个年级有 8 个班，每个班有 40 名学生，老师要从每个班随机选 2 名学生参加夏令营活动，则抽到小华的概率是
$\frac{1}{20}$
。
答案：15. $\frac{1}{20}$
解析：
每个班有40名学生，从每个班随机选2名学生，抽到小华的概率为$\frac{2}{40}=\frac{1}{20}$。
$\frac{1}{20}$
16. 已知点 $A(-3,2)$，则点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点坐标是
$( - 3, - 2)$
。
答案：16. $( - 3, - 2)$
17. 如图，$D$，$E$ 分别是$△ ABC$ 边 $AB$，$AC$ 上的点，$DE// BC$，$AD:DB = 2:3$，则三角形 $ADE$ 的面积与四边形 $DECB$ 的面积之比是
$4:21$
。
答案：17. $4:21$
解析：
证明：
∵ $DE // BC$，
∴ $△ ADE ∼ △ ABC$。
∵ $AD:DB = 2:3$，
∴ $AD:AB = 2:(2+3) = 2:5$。
∵ 相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴ $\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}} = (\frac{AD}{AB})^2 = (\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25}$。
设 $S_{△ ADE} = 4k$，则 $S_{△ ABC} = 25k$，
∴ $S_{四边形DECB} = S_{△ ABC} - S_{△ ADE} = 25k - 4k = 21k$。
∴ $\frac{S_{△ ADE}}{S_{四边形DECB}} = \frac{4k}{21k} = \frac{4}{21}$。
$4:21$
18. 如图，点 $A$ 在双曲线 $y = \frac{k}{x}(k ＞ 0,x ＞ 0)$ 上，点 $B$ 在直线 $y = mx - 2b(m ＞ 0,b ＞ 0)$ 上，$A$ 与 $B$ 关于 $x$ 轴对称，直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $C$，当四边形 $AOCB$ 是菱形时，有以下结论：
(1)$A(b,\sqrt{3}b)$；
(2)当 $b = 2$ 时，$k = 4\sqrt{3}$；
(3)$m = \frac{\sqrt{3}}{3}$；
(4)$S_{四边形 AOCB}=2b^{2}$。
则所有正确结论的序号是
(2)(3)
。
答案：18. $(2)(3)$
解析：
解：设点$A$的坐标为$(a,b')$，因为$A$与$B$关于$x$轴对称，所以点$B$的坐标为$(a,-b')$。
由于四边形$AOCB$是菱形，所以$OA=OC=BC=AB$。
直线$y = mx - 2b$与$y$轴交于点$C$，令$x=0$，则$y=-2b$，所以点$C$的坐标为$(0,-2b)$，则$OC=2b$，所以$OA=2b$。
点$A$在第一象限，所以$a＞0$，$b'＞0$，根据勾股定理可得$a^{2}+b'^{2}=(2b)^{2}$。
因为$BC=OC=2b$，点$B$的坐标为$(a,-b')$，点$C$的坐标为$(0,-2b)$，所以$\sqrt{(a - 0)^{2}+(-b' + 2b)^{2}}=2b$，即$a^{2}+( -b' + 2b)^{2}=4b^{2}$。
联立方程$\begin{cases}a^{2}+b'^{2}=4b^{2}\\a^{2}+( -b' + 2b)^{2}=4b^{2}\end{cases}$，解得$b' = b$，代入$a^{2}+b'^{2}=4b^{2}$可得$a^{2}=3b^{2}$，所以$a = \sqrt{3}b$，则点$A$的坐标为$(\sqrt{3}b,b)$，故(1)错误。
点$A$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，所以$k = \sqrt{3}b × b=\sqrt{3}b^{2}$，当$b = 2$时，$k=\sqrt{3}×2^{2}=4\sqrt{3}$，故(2)正确。
点$B(\sqrt{3}b,-b)$在直线$y = mx - 2b$上，所以$-b = m×\sqrt{3}b - 2b$，解得$m=\frac{\sqrt{3}}{3}$，故(3)正确。
菱形$AOCB$的面积为$OC× a=2b×\sqrt{3}b=2\sqrt{3}b^{2}$，故(4)错误。
综上，正确结论的序号是(2)(3)。
(2)(3)
