8. 如图，四边形$OABC$是矩形，点$A$的坐标为$(8,0)$，点$C$的坐标为$(0,4)$，把矩形$OABC$沿$OB$折叠，点$C$落在点$D$处，则点$D$的坐标为
$(\dfrac{16}{5},-\dfrac{12}{5})$
.
答案：8. $(\dfrac{16}{5},-\dfrac{12}{5})$
解析：
解：
∵四边形$OABC$是矩形，点$A(8,0)$，点$C(0,4)$，
∴$OA=8$，$OC=4$，$B(8,4)$。
设直线$OB$的解析式为$y=kx$，将$B(8,4)$代入得$4=8k$，解得$k=\dfrac{1}{2}$，
∴直线$OB$：$y=\dfrac{1}{2}x$。
由折叠性质知$OD=OC=4$，$BD=BC=8$。
设$D(x,y)$，则$\begin{cases}x^{2}+y^{2}=4^{2} \\ (x - 8)^{2}+(y - 4)^{2}=8^{2}\end{cases}$，
化简得$\begin{cases}x^{2}+y^{2}=16 \\ x^{2}-16x + 64 + y^{2}-8y + 16 = 64\end{cases}$，
将$x^{2}+y^{2}=16$代入第二个方程：$16 - 16x - 8y + 80 = 64$，即$2x + y = 4$，$y = 4 - 2x$。
代入$x^{2}+y^{2}=16$：$x^{2}+(4 - 2x)^{2}=16$，$5x^{2}-16x=0$，$x(5x - 16)=0$，
解得$x=0$（舍）或$x=\dfrac{16}{5}$，则$y=4 - 2×\dfrac{16}{5}=-\dfrac{12}{5}$，
∴点$D$的坐标为$(\dfrac{16}{5},-\dfrac{12}{5})$。
$(\dfrac{16}{5},-\dfrac{12}{5})$
9. 一个圆锥的轴截面平行于投影面，圆锥的正投影是边长为$10cm$的等边三角形，则圆锥的体积为
$\dfrac{125\sqrt{3}}{3}π$
$cm^{3}$.
答案：9. $\dfrac{125\sqrt{3}}{3}π$
解析：
圆锥的正投影是边长为$10cm$的等边三角形，所以圆锥的轴截面是边长为$10cm$的等边三角形。
圆锥的底面直径等于等边三角形的边长，即底面直径$d = 10cm$，所以底面半径$r=\dfrac{d}{2}=\dfrac{10}{2} = 5cm$。
圆锥的高$h$为等边三角形的高，根据等边三角形的高公式$h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}×$边长，可得$h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}×10 = 5\sqrt{3}cm$。
圆锥的体积公式为$V=\dfrac{1}{3}π r^{2}h$，将$r = 5cm$，$h=5\sqrt{3}cm$代入公式：
$\begin{aligned}V&=\dfrac{1}{3}π×5^{2}×5\sqrt{3}\\&=\dfrac{1}{3}π×25×5\sqrt{3}\\&=\dfrac{125\sqrt{3}}{3}π\ (cm^{3})\end{aligned}$
$\dfrac{125\sqrt{3}}{3}π$
10. 如图，正方形$ABCD$与正三角形$AEF$的顶点$A$重合，将$△ AEF$绕顶点$A$旋转，在旋转过程中，当$BE = DF$时，$∠ BAE$的度数是
$15^{\circ}$或$165^{\circ}$
.
答案：10. $15^{\circ}$或$165^{\circ}$
解析：
解：设正方形边长为 $a$，$∠ BAE = θ$。
情况1：$△ AEF$ 在正方形内部
$\because AB = AD = a$，$AE = AF$，$BE = DF$，
$\therefore △ ABE ≌ △ ADF$（SSS），
$∠ BAE = ∠ DAF = θ$。
$\because ∠ BAD = 90°$，$∠ EAF = 60°$，
$\therefore 2θ + 60° = 90°$，解得 $θ = 15°$。
情况2：$△ AEF$ 在正方形外部
$∠ BAE = θ$，则 $∠ DAF = θ$，
$\because ∠ EAF = 60°$，$∠ BAD = 90°$，
$\therefore θ + θ = 360° - 90° - 60°$，解得 $θ = 165°$。
综上，$∠ BAE = 15°$或$165°$。
$15^{\circ}$或$165^{\circ}$
11. 已知扇形的圆心角为$120^{\circ}$，弧长等于半径为$5cm$的圆周长，则扇形的面积为
$75π cm^{2}$
.
答案：11. $75π cm^{2}$
解析：
设扇形的半径为$r$。
半径为$5cm$的圆周长为$2π×5 = 10π cm$。
扇形弧长公式为$\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数），已知圆心角$n = 120^{\circ}$，弧长等于$10π cm$，则：
$\frac{120π r}{180}=10π$
化简得：
$\frac{2π r}{3}=10π$
解得$r = 15cm$。
扇形面积公式为$\frac{nπ r^{2}}{360}$，代入$n = 120^{\circ}$，$r = 15cm$：
$\frac{120π×15^{2}}{360}=\frac{120π×225}{360}=75π cm^{2}$
$75π cm^{2}$
12. 已知直角三角形两条直角边的长分别为 6 和 8，那么这个直角三角形内切圆的半径为
2
.
答案：12. 2
解析：
解：直角三角形两条直角边的长分别为$6$和$8$，根据勾股定理，斜边的长为$\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10$。
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a + b - c}{2}$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），则$r=\frac{6 + 8 - 10}{2}=\frac{4}{2}=2$。
2
13. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC = 10cm$，点$D$为$△ ABC$内一点，$∠ BAD = 15^{\circ}$，$AD = 6cm$，连接$BD$，将$△ ABD$绕点$A$逆时针方向旋转，使$AB$与$AC$重合，点$D$的对应点$E$，连接$DE$，$DE$交$AC$于点$F$，则$CF$的长为
$10 - 2\sqrt{6}$
$cm$.
答案：13. $10 - 2\sqrt{6}$
解析：
解：由旋转性质得，$AE=AD=6\,\mathrm{cm}$，$∠ CAE=∠ BAD=15°$，$∠ DAE=∠ BAC=90°$，
$\therefore △ ADE$为等腰直角三角形，$∠ ADE=45°$，$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=6\sqrt{2}\,\mathrm{cm}$。
$∠ DAF=∠ BAC-∠ BAD=75°$，在$△ ADF$中，$∠ AFD=180°-∠ DAF-∠ ADE=60°$。
过点$A$作$AG⊥ DE$于$G$，则$AG=DG=\frac{AD}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\,\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AFG$中，$∠ AFG=60°$，$AF=\frac{AG}{\sin60°}=\frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{6}\,\mathrm{cm}$。
$\because AC=10\,\mathrm{cm}$，$\therefore CF=AC-AF=10-2\sqrt{6}\,\mathrm{cm}$。
$10 - 2\sqrt{6}$
14. 如图，已知在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$∠ B = 25^{\circ}$.以$C$为圆心，$CA$为半径的圆交$AB$于$D$点，则$\overset{\frown}{AD}$所对圆心角的度数是
$50^{\circ}$
.
答案：14. $50^{\circ}$
解析：
解：在$△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$∠B=25^{\circ}$，
$\therefore ∠CAB=90^{\circ}-∠B=65^{\circ}$.
$\because CA=CD$，
$\therefore ∠CDA=∠CAB=65^{\circ}$.
在$△ACD$中，$∠ACD=180^{\circ}-∠CAB-∠CDA=180^{\circ}-65^{\circ}-65^{\circ}=50^{\circ}$.
即$\overset{\frown}{AD}$所对圆心角的度数是$50^{\circ}$.
$50^{\circ}$
三、解答题（共 6 小题，共 58 分）
15. （6 分）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（用圆规、直尺画图，不写画法，但要保留画图痕迹）
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽$AB = 16cm$，水面最深地方的高度为$4cm$，求这个圆形截面的半径.
答案：15.（1）图略；（2）10 cm.
解析：
（1）图略（保留画图痕迹）
（2）解：设圆形截面的半径为$r$ cm，过圆心$O$作$OC ⊥ AB$于点$C$，交劣弧$AB$于点$D$，则$CD = 4$ cm，$AC = \frac{AB}{2} = 8$ cm，$OC = r - 4$ cm。
在$Rt△ AOC$中，由勾股定理得：$OC^2 + AC^2 = OA^2$，即$(r - 4)^2 + 8^2 = r^2$。
展开得：$r^2 - 8r + 16 + 64 = r^2$，化简得：$-8r + 80 = 0$，解得$r = 10$。
答：这个圆形截面的半径为$10$ cm。
