10. 不等式组 $ \begin{cases}2x + 4 ≤ 0, \\ \frac{1}{2}x + 2 ＞ 0\end{cases}$ 的整数解为 ______ .
答案：10. $x = - 3,- 2$.
解析：
解不等式组：
1. 解不等式 $2x + 4 ≤ 0$，得 $2x ≤ -4$，$x ≤ -2$；
2. 解不等式 $\frac{1}{2}x + 2 ＞ 0$，得 $\frac{1}{2}x ＞ -2$，$x ＞ -4$；
3. 不等式组的解集为 $-4 ＜ x ≤ -2$，整数解为 $x = -3, -2$。
$x = -3, -2$
11. 关于 $ x $ 的方程 $ (x - 2)(x - 3) = 6 $ 的解为
$x_1 = 0,x_2 = 5$
.
答案：11. $x_1 = 0,x_2 = 5$.
解析：
解：$(x - 2)(x - 3) = 6$
$x^2 - 5x + 6 = 6$
$x^2 - 5x = 0$
$x(x - 5) = 0$
$x = 0$或$x - 5 = 0$
$x_1 = 0$，$x_2 = 5$
12. 已知 $ |2x - 24| + (3x - y - m)^{2} = 0 $，若 $ y ＜ 0 $，则 $ m $ 的取值范围是
$m ＞ 36$
.
答案：12. $m ＞ 36$.
解析：
解：因为$|2x - 24| + (3x - y - m)^{2} = 0$，且$|2x - 24| ≥ 0$，$(3x - y - m)^{2} ≥ 0$，所以$2x - 24 = 0$，$3x - y - m = 0$。
由$2x - 24 = 0$，解得$x = 12$。
将$x = 12$代入$3x - y - m = 0$，得$3×12 - y - m = 0$，即$y = 36 - m$。
因为$y ＜ 0$，所以$36 - m ＜ 0$，解得$m ＞ 36$。
$m ＞ 36$
13. 已知不等式组 $ \begin{cases}2ax - 6 ＞ a, \\ 6x - 5 ＜ b\end{cases}$ 的解集是 $ 1 ＜ x ＜ 2 $，则 $ a + b = $ ______ .
答案：13. 13.
解析：
解：解不等式$2ax - 6 ＞ a$，得$2ax ＞ a + 6$。
因为不等式组的解集是$1 ＜ x ＜ 2$，所以$a ＞ 0$，则$x ＞ \frac{a + 6}{2a}$。
解不等式$6x - 5 ＜ b$，得$6x ＜ b + 5$，即$x ＜ \frac{b + 5}{6}$。
所以不等式组的解集为$\frac{a + 6}{2a} ＜ x ＜ \frac{b + 5}{6}$。
又因为解集是$1 ＜ x ＜ 2$，所以$\frac{a + 6}{2a} = 1$，$\frac{b + 5}{6} = 2$。
由$\frac{a + 6}{2a} = 1$，得$a + 6 = 2a$，解得$a = 6$。
由$\frac{b + 5}{6} = 2$，得$b + 5 = 12$，解得$b = 7$。
所以$a + b = 6 + 7 = 13$。
13
14. 已知实数 $ m $ 满足 $ m^{2} - 3m + 1 = 0 $，则代数式 $ m^{2} + \frac{19}{m^{2} + 2} $ 的值等于
9
.
答案：14. 9.
解析：
由$m^{2} - 3m + 1 = 0$，得$m^{2}=3m - 1$。
将$m^{2}=3m - 1$代入$m^{2} + 2$，得$3m - 1 + 2 = 3m + 1$。
原式$=3m - 1+\frac{19}{3m + 1}$
$=\frac{(3m - 1)(3m + 1)+19}{3m + 1}$
$=\frac{9m^{2}-1 + 19}{3m + 1}$
$=\frac{9m^{2}+18}{3m + 1}$
$=\frac{9(m^{2}+2)}{3m + 1}$
又因为$m^{2}+2 = 3m + 1$，所以原式$=\frac{9(3m + 1)}{3m + 1}=9$。
9
三、解答题（共 7 小题，共 58 分）
15. （6 分）解不等式组：
$ \begin{cases} 3(x - 2) ≤ 4x - 5 & ①, \\ \frac{5x - 2}{4} ＜ 1 + \frac{1}{2}x & ②, \end{cases} $
并把它的解集在数轴上表示出来.
答案：15. $- 1 ≤ x ＜ 2$，图略.
解析：
解：解不等式①：$3(x - 2) ≤ 4x - 5$
$3x - 6 ≤ 4x - 5$
$3x - 4x ≤ -5 + 6$
$-x ≤ 1$
$x ≥ -1$
解不等式②：$\frac{5x - 2}{4} ＜ 1 + \frac{1}{2}x$
$5x - 2 ＜ 4 + 2x$
$5x - 2x ＜ 4 + 2$
$3x ＜ 6$
$x ＜ 2$
所以不等式组的解集为$-1 ≤ x ＜ 2$
（数轴表示：在数轴上标出-1（实心点）和2（空心点），连接两点形成线段）
16. （8 分）解方程：$ x^{2} + 4x - 2 = 0 $（用两种方法）.
解法一：
解法二：
答案：16. $x_1 = - 2 + \sqrt{6}$，$x_2 = - 2 - \sqrt{6}$.
解析：
解法一：
解：$x^2 + 4x - 2 = 0$
$x^2 + 4x = 2$
$x^2 + 4x + 4 = 2 + 4$
$(x + 2)^2 = 6$
$x + 2 = \pm \sqrt{6}$
$x_1 = - 2 + \sqrt{6}$，$x_2 = - 2 - \sqrt{6}$
解法二：
解：$a = 1$，$b = 4$，$c = - 2$
$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 × 1 × (-2) = 16 + 8 = 24$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2 × 1} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = - 2 \pm \sqrt{6}$
$x_1 = - 2 + \sqrt{6}$，$x_2 = - 2 - \sqrt{6}$
17. （6 分）已知下列 $ n $（$ n $ 为正整数）个关于 $ x $ 的一元二次方程：
$ x^{2} - 1 = 0 $，①
$ x^{2} + x - 2 = 0 $，②
$ x^{2} + 2x - 3 = 0 $，③
……
$ x^{2} + (n - 1)x - n = 0 $. ⑳
（1）请解上述一元二次方程①、②、③、⑳；
（2）请你指出这 $ n $ 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可.
答案：17. (1) ① $x_1 = - 1,x_2 = 1$；② $x_1 = - 2,x_2 = 1$；③ $x_1 = - 3,x_2 = 1$；$···$；$n$ $x_1 = - n,x_2 = 1$. (2) 共同特点是：都有一个根为 1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等.
解析：
（1）① $x^{2}-1=0$，因式分解得$(x-1)(x+1)=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-1$；
② $x^{2}+x-2=0$，因式分解得$(x-1)(x+2)=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-2$；
③ $x^{2}+2x-3=0$，因式分解得$(x-1)(x+3)=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-3$；
⑳ $x^{2}+(n-1)x - n=0$，因式分解得$(x-1)(x + n)=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-n$。
（2）都有一个根为$1$。
18. （8 分）A 玉米试验田是边长为 $ a $ m 的正方形减去一个边长为 1 m 的正方形蓄水池后余下的部分，B 玉米试验田是边长为 $ (a - 1) $ m 的正方形，两块试验田都收获了 500 kg 玉米.
（1）哪块玉米试验田的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
答案：18. (1) B 试验田玉米的单位面积产量高；(2) $\frac{a + 1}{a - 1}$倍.
解析：
（1）A试验田面积为$a^2 - 1$平方米，单位面积产量为$\frac{500}{a^2 - 1}$ kg/m²；B试验田面积为$(a - 1)^2$平方米，单位面积产量为$\frac{500}{(a - 1)^2}$ kg/m²。
因为$a^2 - 1 - (a - 1)^2 = 2(a - 1)$，且$a ＞ 1$，所以$a^2 - 1 ＞ (a - 1)^2$，则$\frac{500}{a^2 - 1} ＜ \frac{500}{(a - 1)^2}$，故B试验田单位面积产量高。
（2）$\frac{500}{(a - 1)^2} ÷ \frac{500}{a^2 - 1} = \frac{a^2 - 1}{(a - 1)^2} = \frac{(a + 1)(a - 1)}{(a - 1)^2} = \frac{a + 1}{a - 1}$，即高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{a + 1}{a - 1}$倍。
