21. （10 分）如图，在 $5×5$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 $1$，请在所给的网格中按下列要求画出图形：
（1）从点 $A$ 出发画一条线段 $AB$，使它的另一端点落在格点上且长度为 $2\sqrt{2}$；
（2）以（1）中的 $AB$ 为边作一个等腰三角形 $ABC$，使点 $C$ 在格点上，且另两边的长都是无理数；
（3）以（1）中的 $AB$ 为边作一个凸多边形，使它是中心对称图形，其顶点都在格点上且边长都是无理数.
答案：21. (1) 提示：边长为 2 的正方形对角线；(2) 答案不唯一，只要符合题意即可；(3) 图略.
解析：
（1）从点$A$出发，向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点$B$，连接$AB$，则$AB=2\sqrt{2}$。（画图略）
（2）以$AB$为腰，分别以$A$、$B$为圆心，$AB$长为半径画弧，在格点上找到点$C$，使$AC=BC=2\sqrt{2}$（或$AC=AB=2\sqrt{2}$且$BC$为无理数，或$BC=AB=2\sqrt{2}$且$AC$为无理数）。（画图略）
（3）以$AB$为边，找到$AB$的中点$O$，在网格中找到点$D$，使$O$为$AD$和$BC$的中点，连接$ABCD$，得到平行四边形$ABCD$，其边长均为无理数。（画图略）
22. （9 分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：$4 = 2^{2}-0^{2}$，$12 = 4^{2}-2^{2}$，$20 = 6^{2}-4^{2}$，因此 $4$，$12$，$20$ 都是“神秘数”.
（1）$28$ 和 $2012$ 这两个数是“神秘数”吗？为什么？
（2）设有两个连续偶数为 $2k + 2$ 和 $2k$（其中 $k$ 取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是 $4$ 的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是“神秘数”吗？为什么？
答案：22. (1) 28 和 2012 是“神秘数”，$28=8^{2}-6^{2}$，$2012=504^{2}-502^{2}$；(2) 由 $2k+2$ 和 $2k$ 构造的“神秘数”是 4 的倍数，$(2k+2)^{2}-(2k)^{2}=4(2k+1)$；(3) 两个连续奇数的平方差不是“神秘数”，两个连续奇数的平方差是 4 与一个偶数的乘积，而“神秘数”是 4 与一个奇数的乘积.
解析：
（1）28和2012是“神秘数”。因为$28 = 8^{2}-6^{2}$，$2012 = 504^{2}-502^{2}$。
（2）是4的倍数。$(2k + 2)^{2}-(2k)^{2}=(2k + 2 + 2k)(2k + 2 - 2k)=(4k + 2)×2 = 4(2k + 1)$，所以由$2k + 2$和$2k$构造的“神秘数”是4的倍数。
（3）不是“神秘数”。设两个连续奇数为$2k + 1$和$2k - 1$（$k$为正整数），则$(2k + 1)^{2}-(2k - 1)^{2}=(2k + 1 + 2k - 1)(2k + 1 - (2k - 1))=4k×2 = 8k = 4×2k$，其是4与一个偶数的乘积；而“神秘数”是4与一个奇数的乘积，所以两个连续奇数的平方差不是“神秘数”。
