22. （15分）如图，已知将矩形$ABCD$沿对角线$AC$折叠，使点$B$落在点$E$处，$AE$交$CD$于点$M$.
（1）试判断折叠后重合部分（即$△ AMC$）的形状，并证明你的结论；
（2）当$\frac{AD}{AB}$为何值时，$△ EMC∽△ DAC$？请说明理由.
答案：22. (1) $ △ AMC $ 是等腰三角形，证明略；(2) 当 $ \frac{AD}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{3} $ 时，$ △ EMC ∼ △ DAC $，证明略.
解析：
（1）$△AMC$是等腰三角形。
证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AB// CD$，
∴$∠BAC=∠ACD$。
∵折叠，
∴$∠BAC=∠EAC$，
∴$∠EAC=∠ACD$，
∴$MA=MC$，
∴$△AMC$是等腰三角形。
（2）当$\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$时，$△EMC∽△DAC$。
理由：设$AD=a$，$AB=b$，则$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$b=\sqrt{3}a$。
∵$△AMC$是等腰三角形，
∴$MA=MC$。设$MA=MC=x$，则$DM=b - x$。
在$Rt△ADM$中，$AD^2 + DM^2 = AM^2$，
即$a^2 + (b - x)^2 = x^2$，
解得$x = \frac{a^2 + b^2}{2b} = \frac{a^2 + 3a^2}{2\sqrt{3}a} = \frac{2a}{\sqrt{3}}$。
∴$EM = AE - AM = b - x = \sqrt{3}a - \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$，$MC = x = \frac{2a}{\sqrt{3}}$。
∵$∠E = ∠D = 90°$，$\frac{EM}{AD} = \frac{\frac{a}{\sqrt{3}}}{a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$，$\frac{MC}{CD} = \frac{\frac{2a}{\sqrt{3}}}{b} = \frac{\frac{2a}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}a} = \frac{2}{3}$，
又
∵$∠EMC = ∠DMA$，$∠DMA + ∠DAM = 90°$，$∠DCA + ∠DAC = 90°$，且$∠DAM = ∠DCA$，
∴$∠EMC = ∠DAC$，
∴$△EMC∽△DAC$。
23. （15分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数$y=(x-a)(x-3)(0＜a＜3)$的图象与$x$轴交于点$A$，$B$（点$A$在点$B$的左侧），与$y$轴交于点$D$，过其顶点$C$作直线$CP⊥ x$轴，垂足为$P$，连接$AD$，$BC$.
（1）求点$A$，$B$，$D$的坐标；
（2）若$△ AOD$与$△ BPC$相似，求$a$的值；
（3）点$D$，$O$，$C$，$B$能否在同一个圆上？若能，求出$a$的值；若不能，请说明理由.
答案：23. (1) $ A(a, 0) $，$ B(3, 0) $，$ D(0, 3a) $. (2) $ a $ 的值为 $ \frac{7}{3} $. (3) 当 $ a = \sqrt{5} $ 时，$ D $，$ O $，$ C $，$ B $ 四点共圆，理由略.
解析：
（1）解：令$y=0$，则$(x-a)(x-3)=0$，解得$x=a$或$x=3$，
∵点$A$在点$B$左侧，且$0＜a＜3$，
∴$A(a,0)$，$B(3,0)$；
令$x=0$，则$y=(0-a)(0-3)=3a$，
∴$D(0,3a)$；
（2）解：$y=(x-a)(x-3)=x^2-(a+3)x+3a$，
顶点$C$的横坐标为$x=\frac{a+3}{2}$，代入得$y=-(\frac{3-a}{2})^2$，
∴$C(\frac{a+3}{2},-\frac{(3-a)^2}{4})$，$P(\frac{a+3}{2},0)$，
$BP=3-\frac{a+3}{2}=\frac{3-a}{2}$，$PC=\frac{(3-a)^2}{4}$，
$OA=a$，$OD=3a$，
∵$△ AOD$与$△ BPC$相似，$∠ AOD=∠ BPC=90°$，
∴$\frac{OA}{BP}=\frac{OD}{PC}$或$\frac{OA}{PC}=\frac{OD}{BP}$，
①$\frac{a}{\frac{3-a}{2}}=\frac{3a}{\frac{(3-a)^2}{4}}$，解得$a=\frac{7}{3}$；
②$\frac{a}{\frac{(3-a)^2}{4}}=\frac{3a}{\frac{3-a}{2}}$，解得$a=1$（舍），
∴$a=\frac{7}{3}$；
（3）解：能，$a=\sqrt{5}$，
理由：若$D$，$O$，$C$，$B$共圆，则$∠ DOB+∠ DCB=180°$，
由勾股定理得$OD^2+OB^2=BD^2$，$CD^2+CB^2=BD^2$，
即$(3a)^2+3^2=(\frac{a+3}{2})^2+(3a+\frac{(3-a)^2}{4})^2+(3-\frac{a+3}{2})^2+(\frac{(3-a)^2}{4})^2$，
化简得$a^4-14a^2+45=0$，解得$a^2=5$（$a^2=9$舍），
∴$a=\sqrt{5}$.
