18. (8分)如图，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个$△ ABC$.
(1)填空：$∠ ABC=$
$ 135^{\circ} $
，$AC=$
$ \sqrt{10} $
；
(2)在网格上画出一个与$△ ABC$相似且面积最大的$△ A_{1}B_{1}C_{1}$，使它的三个顶点都落在小正方形的顶点上，并求出$△ A_{1}B_{1}C_{1}$的面积.
答案：18. (1) $ 135^{\circ} $，$ \sqrt{10} $；(2) 图略，面积为 5.
19. （12分）如图，在平面直角坐标系$xOy$中，菱形$ABCD$的对角线$AC$与$BD$交于点$P(-1,2)$，$AB⊥ x$轴于点$E$，正比例函数$y=mx$的图象与反比例函数$y=\frac{n-3}{x}$的图象相交于$A$，$P$两点.
（1）求$m$，$n$的值与点$A$的坐标；
（2）求证：$△ CPD∽△ AEO$；
（3）求$\sin∠ CDB$的值.
答案：19. (1) $ m = -2 $，$ n = 1 $，$ A(1, -2) $；(2) 证明略；(3) $ \sin ∠ CDB = \frac{2\sqrt{5}}{5} $.
20. （8分）如图，四边形$OABC$的四个顶点的坐标分别为$O(0,0)$，$A(0,1)$，$B(2,2)$，$C(3,0)$，四边形$OA'B'C'$与四边形$OABC$相似，且相似比为$2:1$，试求出四边形$OA'B'C'$各点的坐标.
答案：20. $ O(0, 0) $，$ A'(0, 2) $，$ B'(4, 4) $，$ C'(6, 0) $.
解析：
解：因为四边形$OA'B'C'$与四边形$OABC$相似，相似比为$2:1$，且$O$为位似中心，所以各对应点的坐标为原坐标乘以$2$。
已知$O(0,0)$，$A(0,1)$，$B(2,2)$，$C(3,0)$，则：
$O'(0×2,0×2)=(0,0)$，
$A'(0×2,1×2)=(0,2)$，
$B'(2×2,2×2)=(4,4)$，
$C'(3×2,0×2)=(6,0)$。
故四边形$OA'B'C'$各点的坐标为$O(0,0)$，$A'(0,2)$，$B'(4,4)$，$C'(6,0)$。
21. （8分）如图，有一座山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径$4\ \mathrm{km}$，山高$4\sqrt{15}\ \mathrm{km}$.在山坡$SA$的中点$C$有一联络站，要从山脚$A$修一盘山路，绕山坡一周将物资运往$SA$的中点$C$，这条公路的最短路程为多少千米？
答案：21. $ 8\sqrt{5} \mathrm{ km} $.
解析：
解：圆锥底面半径 $ OA = 4 \, \mathrm{km} $，高 $ SO = 4\sqrt{15} \, \mathrm{km} $。
在 $ \mathrm{Rt}△ SOA $ 中，母线长 $ SA = \sqrt{SO^2 + OA^2} = \sqrt{(4\sqrt{15})^2 + 4^2} = \sqrt{240 + 16} = \sqrt{256} = 16 \, \mathrm{km} $。
圆锥底面周长 $ l = 2π × 4 = 8π \, \mathrm{km} $。将圆锥侧面沿母线 $ SA $ 展开，得到扇形 $ SAS' $，设扇形圆心角为 $ n° $，则 $ \frac{nπ × 16}{180} = 8π $，解得 $ n = 90 $，即展开图扇形圆心角为 $ 90° $。
点 $ C $ 为 $ SA $ 中点，故 $ SC = \frac{1}{2}SA = 8 \, \mathrm{km} $。在展开图中，点 $ A $ 对应点 $ A' $，连接 $ A'C $，则 $ A'C $ 为最短路程。
在 $ △ SA'C $ 中，$ SA' = SA = 16 \, \mathrm{km} $，$ SC = 8 \, \mathrm{km} $，$ ∠ SA'C = 90° $，所以 $ A'C = \sqrt{SA'^2 + SC^2} = \sqrt{16^2 + 8^2} = \sqrt{256 + 64} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5} \, \mathrm{km} $。
答：这条公路的最短路程为 $ 8\sqrt{5} \, \mathrm{km} $。
