自主拓展
已知点 $ P(m,n) $ 在反比例函数 $ y = \frac{3}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上.
（1）在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ B = 90° $，$ BC = m $，$ BA = n $，求 $ △ ABC $ 的面积.
（2）抛物线 $ y = (x + m)(x - n) $ 与 $ x $ 轴交于两点 $ M $，$ N $（$ M $ 在 $ N $ 的左边），与 $ y $ 轴交于点 $ C $.
① 求点 $ C $ 的坐标；
② 求抛物线顶点纵坐标取得最大值时 $ m $ 的值，并求出此时的顶点坐标.
答案：(1) $ \dfrac{3}{2} $；(2) ① $ C(0,-3) $；② 当 $ m = \sqrt{3} $ 时，抛物线顶点的纵坐标取得最大值 -3，抛物线顶点坐标为 $ (0,-3) $.
解析：
（1）因为点$P(m,n)$在反比例函数$y = \frac{3}{x}(x＞0)$的图象上，所以$n=\frac{3}{m}$，即$mn = 3$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ B = 90°$，$BC = m$，$BA = n$，所以$△ABC$的面积为$\frac{1}{2}×BC×BA=\frac{1}{2}mn$。
因为$mn = 3$，所以面积为$\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
（2）① 抛物线$y=(x + m)(x - n)$与$y$轴交于点$C$，令$x = 0$，则$y=(0 + m)(0 - n)=-mn$。
由（1）知$mn = 3$，所以$y=-3$，故点$C$的坐标为$(0,-3)$。
② 抛物线$y=(x + m)(x - n)=x^{2}+(m - n)x - mn$，因为$mn = 3$，$n=\frac{3}{m}$，所以$y=x^{2}+(m - \frac{3}{m})x - 3$。
对于二次函数$y=ax^{2}+bx + c$，其顶点的纵坐标为$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$，这里$a = 1$，$b=m - \frac{3}{m}$，$c=-3$，所以顶点纵坐标为：
$\begin{aligned}&\frac{4×1×(-3)-(m - \frac{3}{m})^{2}}{4×1}\\=&\frac{-12-(m^{2}-6 + \frac{9}{m^{2}})}{4}\\=&\frac{-12 - m^{2}+6 - \frac{9}{m^{2}}}{4}\\=&\frac{-m^{2}-\frac{9}{m^{2}} - 6}{4}\\=&-\frac{m^{2}+\frac{9}{m^{2}} + 6}{4}\\=&-\frac{(m + \frac{3}{m})^{2}}{4}\end{aligned}$
因为$(m + \frac{3}{m})^{2}≥0$，所以$-\frac{(m + \frac{3}{m})^{2}}{4}≤0$，当且仅当$m + \frac{3}{m}=0$时，等号成立，但$m＞0$，所以$m + \frac{3}{m}≥2\sqrt{m×\frac{3}{m}}=2\sqrt{3}$（当且仅当$m=\frac{3}{m}$，即$m^{2}=3$，$m = \sqrt{3}$时取等号）。
此时$(m + \frac{3}{m})^{2}=(2\sqrt{3})^{2}=12$，顶点纵坐标为$-\frac{12}{4}=-3$。
此时抛物线的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{m - \frac{3}{m}}{2}$，当$m = \sqrt{3}$时，$n=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$，所以$m - \frac{3}{m}=\sqrt{3}-\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{3}=0$，对称轴为$x = 0$，将$x = 0$代入抛物线得$y=-3$，所以顶点坐标为$(0,-3)$。
综上，当$m = \sqrt{3}$时，抛物线顶点的纵坐标取得最大值$-3$，此时顶点坐标为$(0,-3)$。
1. 已知某矩形的面积为20 cm²，回答下列问题：
(1)矩形的长y与宽x之间的函数解析式为
$ y = \dfrac{20}{x} $
。
(2)当矩形的长为12 cm时，宽为多少？当矩形的宽为4 cm时，长为多少？
(3)如果要求矩形的长不小于8 cm，其宽至多为多少？
答案：1. (1) $ y = \dfrac{20}{x} $； (2) $ \dfrac{5}{3} \mathrm{cm}, 5 \mathrm{cm} $； (3) $ \dfrac{5}{2} \mathrm{cm} $。
解析：
(1) $ y = \dfrac{20}{x} $
(2)当$y=12$时，$12 = \dfrac{20}{x}$，解得$x = \dfrac{20}{12} = \dfrac{5}{3}$，宽为$\dfrac{5}{3}\ \mathrm{cm}$；当$x=4$时，$y = \dfrac{20}{4} = 5$，长为$5\ \mathrm{cm}$
(3)由$y ≥ 8$，得$\dfrac{20}{x} ≥ 8$，解得$x ≤ \dfrac{20}{8} = \dfrac{5}{2}$，宽至多为$\dfrac{5}{2}\ \mathrm{cm}$
2. 一定质量的氧气，它的密度ρ(kg/m³)是它的体积V(m³)的反比例函数，当V=10时，ρ=1.43。
（1）求ρ与V的函数解析式；
（2）求当V=2时氧气的密度ρ。
答案：2. (1) $ \rho = \dfrac{14.3}{V} $； (2) $ \rho = 7.15 \mathrm{kg/m}^3 $。
解析：
（1）设$\rho$与$V$的函数解析式为$\rho=\dfrac{k}{V}$，将$V=10$，$\rho=1.43$代入，得$1.43=\dfrac{k}{10}$，解得$k = 14.3$，所以$\rho=\dfrac{14.3}{V}$。
（2）当$V = 2$时，$\rho=\dfrac{14.3}{2}=7.15$，即氧气的密度$\rho=7.15\ \mathrm{kg/m}^3$。
