8. 如图，在$△ ABC$中，$D$为边$AB$的中点，$DE⊥ AB$，垂足为$D$，$∠ ACE+∠ BCE=180^{\circ}$，$EF⊥ BC$，垂足为$F$，$AC=10$，$BC=14$，则$BF$的长为
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答案：12
解析：
连接AE、BE，过E作EG⊥AC交AC延长线于G。
∵D为AB中点，DE⊥AB，∴DE垂直平分AB，故AE=BE。
∵∠ACE+∠BCE=180°，∠ACE+∠ECG=180°，∴∠BCE=∠ECG。
∵EF⊥BC，EG⊥AC，∴∠EFC=∠EGC=90°。
在△ECF和△ECG中，∠BCE=∠ECG，∠EFC=∠EGC，EC=EC，∴△ECF≌△ECG（AAS），∴EF=EG，CF=CG。
设BF=x，则CF=BC-BF=14-x，∴CG=14-x，AG=AC+CG=10+(14-x)=24-x。
在Rt△AEG和Rt△BEF中，AE=BE，EG=EF，∴Rt△AEG≌Rt△BEF（HL），∴AG=BF，即24-x=x，解得x=12。
9. 如图，在$10×10$的正方形网格中，每个小正方形的边长都为$1$，$△ ABC$为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）.
（1）在图中作出与$△ ABC$关于直线$l$对称的$△ A_1B_1C_1$（$A$与$A_1$，$B$与$B_1$，$C$与$C_1$对应）；
（2）在直线$l$上找一点$Q$，使$QB+QC$最小.
答案：(1)
根据网格结构，过点$A$作直线$l$的垂线，垂足对应点为$A_1$的对称引入点（根据网格对称性确定对称点），同理找到$B$关于直线$l$的对称点$B_1$，点$C$关于直线$l$的对称点$C_1$，然后首尾顺次连接$A_1$、$B_1$、$C_1$即可。
(2)
连接$B_1$和$C$，交直线$l$于点$Q$，则点$Q$就是所要求找的点（依据两点之间线段最短，且$B_1$为$B$关于直线$l$对称点，$QB = QB_1$）。
10. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$E$在边$AC$上，且$BE=BC=AE$，求$∠ A$和$∠ AEB$的度数.
答案：设∠A=x。
∵AE=BE，∴∠ABE=∠A=x，∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-2x。
∵∠AEB+∠BEC=180°，∴∠BEC=180°-∠AEB=2x。
∵BE=BC，∴∠BCE=∠BEC=2x，即∠ACB=2x。
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=2x。
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即x+2x+2x=180°，解得x=36°。
∴∠A=36°，∠AEB=180°-2x=108°。
∠A=36°，∠AEB=108°。
11. 如图，已知$AE⊥ FE$，垂足为$E$，且$E$是$DC$的中点.
（1）如图（1），如果$FC⊥ DC$，$AD⊥ DC$，垂足分别为$C$，$D$，且$AD=DC$，$AE$是$∠ FAD$的平分线吗（不必说明理由）？
（2）如图（2），如果（1）中的条件“$AD=DC$”去掉，其余条件不变，（1）中的结论仍成立吗？请说明理由.
答案：(1)
是，$AE$是$∠ FAD$的平分线。
(2)
成立，理由如下：
延长$FE$交$AD$的延长线于点$B$。
因为$E$是$CD$的中点，所以$CE = DE$。
因为$FC⊥ CD$，$AD⊥ CD$，所以$∠ FCE=∠ BDE = 90^{\circ}$，且$∠ FEC=∠ BED$。
根据三角形全等（ASA）判定定理，在$△ FCE$和$△ BDE$中，$\begin{cases}∠ FCE = ∠ BDE\\CE = DE\\∠ FEC=∠ BED\end{cases}$，所以$△ FCE≌△ BDE$。
所以$FE = EB$，$∠ CFE=∠ EBD$。
因为$AE⊥ FE$，即$∠ AFE + ∠ BAE = 90^{\circ}$，在$Rt△ ABE$中，$∠ EAB+∠ EBA = 90^{\circ}$，所以$∠ BAE=∠ EAB$（这里的$∠ EAB$应为$∠ BAE$相关等量代换后的$∠ EAD$相关角，下面规范书写）。
在$△ ABE$中，$∠ AEF = 90^{\circ}$，$∠ B + ∠ BAE=90^{\circ}$，又因为$∠ AFE+∠ BAE = 90^{\circ}$，且$∠ B=∠ AFE$（由全等得出$∠ CFE=∠ EBD$），所以$∠ FAE=∠ BAE$。
即$AE$是$∠ FAD$的平分线。
