· 跟踪练习3 如图 14.3-11，在 $△ ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 的中点，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，垂足分别是 $E$，$F$，$∠ B = ∠ C$。求证：$AD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线。
答案：证明：
已知$D$是$BC$的中点，
所以$BD = CD$，
$DE\bot AB,DF\bot AC$，
所以$∠ BED=∠ CFD = 90^{\circ}$，
在$△ BED$和$△ CFD$中，
$\begin{cases}∠ BED=∠ CFD\\∠ B = ∠ C\\BD = CD\end{cases}$，
所以$△ BED≌△ CFD(AAS)$，
所以$DE = DF$，
因为$DE\bot AB,DF\bot AC$，且$DE = DF$，
所以$AD$是$△ ABC$的角平分线。
1. 嘉嘉要找到不等边三角形中到三边距离相等的点，依据选项中的尺规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是(
)。
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：
到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点（内心）。选项B的作图痕迹是作了两个角的平分线，其交点即为内心，可用直尺找到此点。
2. 如图，两个完全一样的三角尺摆放在 $△ ABC$ 内部，它们的一组对应直角边分别在 $AB$，$AC$ 上，且这组对应边所对的顶点重合于点 $M$，点 $M$ 一定在(
)。
A.边 $AC$ 的高上
B.边 $BC$ 的中线上
C.$∠ B$ 的平分线上
D.$∠ A$ 的平分线上
答案：D
解析：
过点M分别作AB、AC的垂线，垂足分别为D、E。因为两个三角尺完全一样，且一组对应直角边在AB、AC上，对应顶点重合于M，所以MD=ME（全等三角形对应边相等）。根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知点M在∠A的平分线上。
3. 如图，直线 $l_1$，$l_2$，$l_3$ 表示三条公路。现要建造一个中转站 $Q$，使 $Q$ 到三条公路的距离都相等，则中转站 $Q$ 可选择的点有(
)。
A.一处
B.二处
C.三处
D.四处
答案：D
解析：
因为到三条直线距离相等的点是角平分线的交点。三条公路（直线$l_1,l_2,l_3$）两两相交形成三角形，其内角平分线交于一点（内心），到三边距离相等；每个顶点处的两个外角平分线也分别交于一点（旁心），共三个旁心，均到三边所在直线距离相等。故共有$1+3=4$处。
4. 如图，$BD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线，$DE ⊥ AB$，垂足为 $E$。若 $△ ABC$ 的面积为 12，$AB=7$，$DE=2$，则 $BC=$(
)。
A.7
B.4
C.5
D.2
答案：C
解析：
如图，过点 $D$ 作 $DF ⊥ BC$ 于 $F$。
由于 $BD$ 是 $△ABC$ 的角平分线，且 $DE ⊥ AB$，$DF ⊥ BC$，根据角平分线的性质，得到 $DE = DF = 2$。
已知 $△ABC$ 的面积为 12，$AB = 7$，根据三角形面积的计算公式，有：
$S_{△ABC} = S_{△ABD} + S_{△BCD} = \frac{1}{2} × AB × DE + \frac{1}{2} × BC × DF$，
代入已知条件，得：
$12 = \frac{1}{2} × 7 × 2 + \frac{1}{2} × BC × 2$，
化简后得：
$12 = 7 + BC$，
进一步解得：
$BC = 5$。
5. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ ABC=50°$，$∠ ACB=60°$，点 $E$ 在 $BC$ 的延长线上，$∠ ABC$ 的平分线 $BD$ 与 $∠ ACE$ 的平分线 $CD$ 相交于点 $D$，连接 $AD$，则 $∠ CAD=$(
)。
A.$65°$
B.$55°$
C.$45°$
D.$35°$
答案：B
解析：
在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，则∠BAC=180°-50°-60°=70°。
BD平分∠ABC，故∠ABD=∠DBC=25°。
∠ACE为△ABC外角，∠ACE=180°-∠ACB=120°，CD平分∠ACE，故∠ACD=∠DCE=60°。
过点D作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为M、N、P。由角平分线性质得DM=DN，DP=DN，故DM=DP，即AD平分∠BAC的外角。
∠BAC的外角=180°-70°=110°，则∠CAD=110°÷2=55°。
6. 如图，已知 $P$ 为 $△ NMK$ 的两外角的平分线的交点。若 $∠ NPK=48°$，则 $∠ PMK=$(
)。
A.$60°$
B.$55°$
C.$45°$
D.$42°$
答案：D
解析：
设∠NMK=α，∠MNK=β，∠MKN=γ，由三角形内角和定理得α+β+γ=180°。
∵P是△NMK两外角平分线的交点，∴P为旁心（一个内角平分线与另两个外角平分线的交点），故PM平分∠NMK，即∠PMK=α/2。
顶点N处外角=180°-β，其平分线分外角为(180°-β)/2=90°-β/2；顶点K处外角=180°-γ，其平分线分外角为(180°-γ)/2=90°-γ/2。
在△NPK中，∠NPK=180°-(90°-β/2)-(90°-γ/2)=(β+γ)/2。
已知∠NPK=48°，则(β+γ)/2=48°，β+γ=96°。
∴α=180°-(β+γ)=84°，故∠PMK=α/2=42°。
