1. 下列分式是最简分式的是(
).
A.$\frac{15y}{5x}$
B.$\frac{2 - b}{2(b + a)^2}$
C.$\frac{x^2 - 1}{x + 1}$
D.$\frac{4b^3}{3ab}$
答案：B
解析：
最简分式的标准是分子和分母没有除1以外的公因式，对每个选项逐一分析：
A. $\frac{15y}{5x}=\frac{3y}{x}$, 分子分母有公因式5，可约分，不是最简分式。
B. $\frac{2 - b}{2(b + a)^2}$，分子是$2 - b$，分母是$2(b + a)^2$，分子分母没有除1以外的公因式，是最简分式。
C. $\frac{x^2 - 1}{x + 1}=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x + 1}=x - 1$，分子分母有公因式$x + 1$，可约分，不是最简分式。
D. $\frac{4b^3}{3ab}=\frac{4b^2× b}{3a× b}=\frac{4b^2}{3a}$，分子分母有公因式$b$，可约分，不是最简分式。
2. 下列计算正确的是(
).
A.$2a^3 · a^2 = 2a^6$
B.$(-2a)^3 ÷ b · \frac{1}{b} = -8a^3$
C.$(a^3 + a^2 + a) ÷ a = a^2 + a$
D.$3a^{-2} = \frac{3}{a^2}$
答案：D
解析：
选项A：根据同底数幂的乘法法则，$2a^{3}· a^{2}=2a^{3 + 2}=2a^{5}≠2a^{6}$，所以A选项错误。
选项B：先计算$(-2a)^{3}=-8a^{3}$，然后$(-2a)^{3}÷ b·\frac{1}{b}=-8a^{3}×\frac{1}{b}×\frac{1}{b}=-\frac{8a^{3}}{b^{2}}≠ - 8a^{3}$，所以B选项错误。
选项C：根据多项式除以单项式法则，$(a^{3}+a^{2}+a)÷ a=a^{3}÷ a+a^{2}÷ a+a÷ a=a^{2}+a + 1≠ a^{2}+a$，所以C选项错误。
选项D：根据负整数指数幂的运算法则，$3a^{-2}=3×\frac{1}{a^{2}}=\frac{3}{a^{2}}$，所以D选项正确。
3. 下列分式中，$x$取任意实数都有意义的是(
).
A.$\frac{1}{x^2}$
B.$\frac{x - 1}{x + 1}$
C.$\frac{x}{3 - x}$
D.$\frac{4}{x^2 + 1}$
答案：D
解析：
分式有意义的条件是分母不为0。
A选项：分母$x^2$，当$x=0$时，$x^2=0$，分式无意义，不符合。
B选项：分母$x+1$，当$x=-1$时，$x+1=0$，分式无意义，不符合。
C选项：分母$3 - x$，当$x=3$时，$3 - x=0$，分式无意义，不符合。
D选项：分母$x^2 + 1$，因为$x^2≥0$，所以$x^2 + 1≥1$，分母恒不为0，分式对任意实数$x$都有意义，符合。
4. 计算：$\frac{4a}{2a - b} - \frac{2b}{2a - b} =$(
).
A.$2$
B.$2a - b$
C.$\frac{2}{2a - b}$
D.$\frac{a - b}{2a - b}$
答案：A
解析：
根据同分母分式的加减法法则，同分母的分式相减，分母不变，分子相减。
对于$\frac{4a}{2a - b}-\frac{2b}{2a - b}$，分母均为$2a - b$，将分子相减可得：
$\frac{4a}{2a - b}-\frac{2b}{2a - b}=\frac{4a - 2b}{2a - b}$
对分子$4a - 2b$提取公因式$2$，得到$4a - 2b = 2(2a - b)$。
则$\frac{4a - 2b}{2a - b}=\frac{2(2a - b)}{2a - b}$，因为$2a - b≠0$，分子分母同时约去$2a - b$，结果为$2$。
5. 下列方程不是分式方程的为(
).
A.$\frac{1}{1 + x} = \frac{1}{2 - x}$
B.$x + \frac{1}{x} = 2$
C.$\frac{5}{x} = \frac{7}{x - 2}$
D.$\frac{x}{3} + \frac{x}{6} = 1$
答案：D
解析：
分式方程是分母中含有未知数的方程。选项A、B、C的分母中均含有未知数x，是分式方程；选项D的分母为3和6，是常数，不含未知数，不是分式方程。
6. 计算：$(a^2b^{-3})^{-2} · (a^{-2}b^3)^3 =$
.
答案：$\frac{b^{15}}{a^{10}}$
解析：
根据幂的乘方与积的乘方运算法则，先分别计算$(a^{2}b^{-3})^{-2}$与$(a^{-2}b^{3})^{3}$，再将结果相乘。
计算$(a^{2}b^{-3})^{-2}$：
根据幂的乘方$(a^m)^n=a^{mn}$以及积的乘方$(ab)^n=a^nb^n$，可得$(a^{2}b^{-3})^{-2}=(a^{2})^{-2}×(b^{-3})^{-2}=a^{-4}b^{6}$。
计算$(a^{-2}b^{3})^{3}$：
同理可得$(a^{-2}b^{3})^{3}=(a^{-2})^{3}×(b^{3})^{3}=a^{-6}b^{9}$。
计算两者的乘积：
$a^{-4}b^{6}· a^{-6}b^{9}$，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^{-4 - 6}b^{6 + 9}=a^{-10}b^{15}=\frac{b^{15}}{a^{10}}$。
7. 计算：$\frac{m}{m + 1} + \frac{1}{m + 1} =$
.
答案：1（（或 填 $1$ 对应的文字表述（如 one等不出现，本题最终结果为数字1，直接写1即可）） 。
解析：
由于两个分式的分母相同，可以直接进行加法运算，即：
$\frac{m}{m + 1} + \frac{1}{m + 1} = \frac{m + 1}{m + 1}$，
由于分子与分母相同（且不为0，因为分母不能为0），所以结果为1。
8. 计算$\frac{a^2}{a - 1} + \frac{a}{1 - a}$的结果是
.
答案：$a$
解析：
首先将第二个分式的分母进行变形，使其与第一个分式的分母相同，即：
$\frac{a}{1 - a} = -\frac{a}{a - 1}$，
接着，将两个分式进行合并，即：
$\frac{a^{2}}{a - 1} - \frac{a}{a - 1} = \frac{a^{2} - a}{a - 1}$，
然后，对分子进行因式分解，提取公因式$a$，得到：
$\frac{a(a - 1)}{a - 1}$，
最后，由于分子和分母都含有因子$a - 1$，所以可以相互约去（注意，这里$a ≠ 1$，否则分母为0，分式无意义），得到：
$a$，
9. 已知甲码头与乙码头相距$72$km，一轮船由甲码头顺流而下到乙码头所用时间比由乙码头逆流而上到甲码头所用时间少$2$h. 已知水流速度为$3$km/h，求轮船在静水中的速度. 设轮船在静水中的速度为$x$km/h，根据题意列方程为
.
答案：$\frac{72}{x - 3} - \frac{72}{x + 3} = 2$
解析：
设轮船在静水中的速度为$x$km/h，则顺流速度为$(x + 3)$km/h，逆流速度为$(x - 3)$km/h。根据时间=路程÷速度，逆流所用时间为$\frac{72}{x - 3}$h，顺流所用时间为$\frac{72}{x + 3}$h。由逆流时间比顺流时间多2h，可列方程：$\frac{72}{x - 3} - \frac{72}{x + 3} = 2$
10. 计算：$2^0 × \left| -\frac{1}{3} \right| + \sqrt{4} - 3^{-1}$.
答案：$2^0 = 1$，
$\left| -\frac{1}{3} \right| = \frac{1}{3}$，
$\sqrt{4} = 2$，
$3^{-1} = \frac{1}{3}$，
所以，$2^0 × \left| -\frac{1}{3} \right| + \sqrt{4} - 3^{-1}$
$= 1 × \frac{1}{3} + 2 - \frac{1}{3}$
$= \frac{1}{3} + 2 - \frac{1}{3}$
$= 2$
11. 计算：$( \frac{y^2}{x} + x - 2y ) ÷ \frac{x^2 - y^2}{x}$.
答案：$\frac{x - y}{x + y}$
解析：
$\begin{aligned}&(\frac{y^2}{x} + x - 2y) ÷ \frac{x^2 - y^2}{x}\\=&(\frac{y^2}{x} + \frac{x^2}{x} - \frac{2xy}{x}) × \frac{x}{x^2 - y^2}\\=&\frac{x^2 - 2xy + y^2}{x} × \frac{x}{(x + y)(x - y)}\\=&\frac{(x - y)^2}{x} × \frac{x}{(x + y)(x - y)}\\=&\frac{x - y}{x + y}\end{aligned}$
12. 先化简，再求值：$\frac{x - 3}{x^2 - 1} ÷ \frac{x - 3}{x^2 + 2x + 1} - \frac{1}{x - 1} - 1$，其中$x$的值从$-1$，$1$，$3$，$4$中选取.
答案：$\frac{1}{3}$
解析：
化简过程：
$\begin{aligned}&\frac{x - 3}{x^2 - 1} ÷ \frac{x - 3}{x^2 + 2x + 1} - \frac{1}{x - 1} - 1\\=&\frac{x - 3}{(x - 1)(x + 1)} × \frac{(x + 1)^2}{x - 3} - \frac{1}{x - 1} - 1\\=&\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} - 1\\=&\frac{x + 1 - 1}{x - 1} - 1\\=&\frac{x}{x - 1} - 1\\=&\frac{x - (x - 1)}{x - 1}\\=&\frac{1}{x - 1}\end{aligned}$
取值分析：
分母不能为0，故$x^2 - 1 ≠ 0$（即$x ≠ \pm 1$），$x - 3 ≠ 0$（即$x ≠ 3$），因此$x = 4$。
代入求值：
当$x = 4$时，$\frac{1}{x - 1} = \frac{1}{4 - 1} = \frac{1}{3}$。
