3. 计算 $2025^0 + (\frac{1}{2})^{-1}$ 的结果是(
).
A.$2025$
B.$2026$
C.$2$
D.$3$
答案：D
解析：
根据任何非零数的零次幂等于1，可得$2025^{0}=1$；
根据负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得$(\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$。
将上述结果代入原式可得：$2025^{0}+(\frac{1}{2})^{-1}=1 + 2=3$。
4. 课堂上，老师布置了四道运算题目，小明的解答如下：
① $a^9 ÷ a^3 = a^3$; ② $3a^2 · 2a^3 = 6a^5$;
③ $2^{-2} = -4$; ④ $(π - 3.14)^0 = 1$.
他做对的题有(
).
A.4 道
B.3 道
C.2 道
D.1 道
答案：【解析】：
① $a^9 ÷ a^3$ 根据同底数幂的除法法则，应为 $a^{9-3} = a^6$，小明计算为 $a^3$，错误。
② $3a^2 · 2a^3$ 根据单项式乘单项式的法则，系数为 $3 × 2 = 6$，字母部分 $a^2 · a^3 = a^{2+3} = a^5$，故结果为 $6a^5$，小明计算正确。
③ $2^{-2}$ 根据负整数指数幂的定义，应为 $\frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$，小明计算为 $-4$，错误。
④ $(π - 3.14)^0$ 任何非零数的零次幂均为 1，$π - 3.14 ≠ 0$，故结果为 1，小明计算正确。
综上，小明做对的题有 2 道。
【答案】：D（（实际应为选项中对应2道的选项，根据选项内容，应选C，题目选项C为2道） （修正后））
【答案】：C
5. 若 $(\frac{a-2}{a-1})^{-2}$ 有意义，则 $a$ 的取值范围是
.
答案：a ≠ 1 且 a ≠ 2（填写为范围形式或直接陈述） (由于原题为填空形式，此处按要求填写答案格式为：a ≠ 1 且 a ≠ 2 的选项（若为选择则按题选项符号填），根据要求直接填范围) 最终范围答案按题要求填入.
解析：
要使$ (\frac{a-2}{a-1})^{-2} $有意义，需满足以下条件：
1. 分母 a - 1 ≠ 0，即 a ≠ 1；
2. 分数$ \frac{a-2}{a-1} $的值不为零（因为零的负指数幂无意义），即$ \frac{a-2}{a-1} ≠ 0$，故 a - 2 ≠ 0，即 a ≠ 2；
3. 负指数幂的底数可以表示为$ (\frac{a-2}{a-1})^{-2} = (\frac{a-1}{a-2})^{2}$，此时只需保证分母和分子不为零，已在前两步中排除。
综上，a ≠ 1 且 a ≠ 2。
6. 阅读下列解题过程：
$(-3m^2n^{-2})^{-3} · (-2m^{-3}n^4)^{-2}$
$= (-3)^{-3} m^{-6} n^6 · (-2)^{-2} m^6 n^{-8}$ ①
$= -\frac{1}{27} m^{-6} n^6 · (-\frac{1}{4} m^6 n^{-8})$ ②
$= \frac{1}{108n^2}$. ③
上述解题过程中，从第
步开始出错，正确结果为
.
答案：②；$-\dfrac{1}{108n^2}$
7. 计算：$(-\frac{1}{2})^{-2} - 2^3 × 0.125 + (-\frac{1}{2})^0 + |-1|$.
答案：$(-\frac{1}{2})^{-2} = \frac{1}{(-\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$；
$2^3 × 0.125 = 8 × \frac{1}{8} = 1$；
$(-\frac{1}{2})^0 = 1$；
$|-1| = 1$。
将以上结果代入原式，得：
$4 - 1 + 1 + 1 = 5$。
故答案为$5$。
8. 先化简，再求值：$(xy^2 + x^2y) · \frac{x}{x^2 + 2xy + y^2} ÷ \frac{x^2y}{x^2 - y^2}$，其中 $x = (π - 3)^0 - (\frac{1}{3})^{-1}$，$y = -\sqrt{2}$.
答案：$\sqrt{2}-2$
解析：
化简过程：
原式$=(xy^2 + x^2y) · \frac{x}{x^2 + 2xy + y^2} ÷ \frac{x^2y}{x^2 - y^2}$
$=xy(x + y) · \frac{x}{(x + y)^2} · \frac{(x + y)(x - y)}{x^2y}$
$=xy(x + y) · \frac{x(x + y)(x - y)}{(x + y)^2 · x^2y}$
$=x - y$
计算$x$的值：
$x=(π - 3)^0 - (\frac{1}{3})^{-1}=1 - 3=-2$
代入求值：
当$x=-2$，$y=-\sqrt{2}$时，原式$=x - y=-2 - (-\sqrt{2})=\sqrt{2}-2$
9. 我们规定：$a^{-p} = \frac{1}{a^p}$ ($a ≠ 0$)，即 $a$ 的负 $p$ 次幂等于 $a$ 的 $p$ 次幂的倒数.
(1) 计算：$-2^{-2} =$
; 若 $2^{-p} = \frac{1}{8}$，则 $p =$
.
(2) $a^{-p} = \frac{1}{9}$，且 $a$, $p$ 为整数，求满足条件的 $a$, $p$ 的值.
答案：(1) $-2^{-2}=-\frac{1}{2^2}=-\frac{1}{4}$；因为$2^{-p}=\frac{1}{2^p}=\frac{1}{8}$，所以$2^p=8=2^3$，则$p=3$。
(2) 因为$a^{-p}=\frac{1}{a^p}=\frac{1}{9}$，所以$a^p=9$。
当$a=3$时，$3^p=9=3^2$，则$p=2$；
当$a=-3$时，$(-3)^p=9=(-3)^2$，则$p=2$；
当$a=9$时，$9^p=9=9^1$，则$p=1$；
当$a=-9$时，$(-9)^p=9$，因为负数的奇次幂为负，偶次幂为正，所以$p=2$时，$(-9)^2=81≠9$，$p=1$时，$(-9)^1=-9≠9$，故$a=-9$无整数$p$满足；
当$a=1$时，$1^p=1≠9$；当$a=-1$时，$(-1)^p=\pm1≠9$。
综上，满足条件的$a$，$p$的值为$\begin{cases}a=3,p=2\\a=-3,p=2\\a=9,p=1\end{cases}$。
(1) $-\frac{1}{4}$；$3$
(2) $\begin{cases}a=3,p=2\\a=-3,p=2\\a=9,p=1\end{cases}$
10. (运算能力) 我们把正整数指数幂的运算扩充到了整数指数幂的运算，同样，我们也可以把整数指数幂的运算扩充到有理数（分数）指数幂的运算.
(i) 正数的正分数指数幂的意义是 $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ ($a ＞ 0$, $m$, $n$ 都是正整数，$n ＞ 1$).
(ii) 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定：$a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$ ($a ＞ 0$, $m$, $n$ 都是正整数，$n ＞ 1$).
(iii) 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数 $p$, $q$，均有下面的运算性质：
① $a^p · a^q = a^{p+q}$ ($a ＞ 0$, $p$, $q$ 都是有理数);
② $a^p ÷ a^q = a^{p-q}$ ($a ＞ 0$, $p$, $q$ 都是有理数);
③ $(a^p)^q = a^{pq}$ ($a ＞ 0$, $p$, $q$ 都是有理数);
④ $(ab)^p = a^p · b^p$ ($a ＞ 0$, $b ＞ 0$, $p$ 是有理数).
请运用有理数指数幂的运算性质计算下列各式（式中字母均是正数）.
(1) $(2a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}})(-6a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}}) ÷ (-3a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{5}{6}})$;
(2) $(m^{\frac{1}{4}}n^{-\frac{3}{8}})^8$.
答案：(1) 原式$=[2×(-6)÷(-3)]· a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}}· b^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{5}{6}}$
$=4· a^{\frac{4}{6}+\frac{3}{6}-\frac{1}{6}}· b^{\frac{3}{6}+\frac{2}{6}-\frac{5}{6}}$
$=4a^{1}b^{0}=4a$
(2) 原式$=(m^{\frac{1}{4}})^{8}·(n^{-\frac{3}{8}})^{8}$
$=m^{\frac{1}{4}×8}· n^{-\frac{3}{8}×8}$
$=m^{2}n^{-3}=\frac{m^{2}}{n^{3}}$
(1) $4a$；(2) $\frac{m^{2}}{n^{3}}$
