5. 先化简，再求值：$\frac{x^{2}}{x-1}-\frac{1}{x-1}$，其中$x$的值从0，1中选取。
答案：化简过程：
$\begin{aligned}\frac{x^{2}}{x-1}-\frac{1}{x-1}&=\frac{x^{2}-1}{x-1}\\&=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}\\&=x+1\quad(x≠1)\end{aligned}$
求值：
当$x=0$时，原式$=0+1=1$；
当$x=1$时，分母$x-1=0$，分式无意义，故舍去。
最终结果：1
6. 若$\frac{m^{2}}{m^{2}-1}+\frac{△}{m^{2}-1}=\frac{m}{m-1}$，则“$△$”应该是(
)。
A.$m$
B.$m-1$
C.$m+1$
D.$\frac{m}{m-1}$
答案：A
解析：
设“△”为A，等式左边通分后分子为$m^2 + A$，分母为$m^2 - 1$，等式右边$\frac{m}{m - 1} = \frac{m(m + 1)}{(m - 1)(m + 1)} = \frac{m^2 + m}{m^2 - 1}$，则$m^2 + A = m^2 + m$，解得$A = m$。
7. (新定义)对于实数$y$，规定$f(y)=\frac{y}{y+1}$。例如：$f(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{
2}$，$f(2)=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$，$f(\frac{1}{2})=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{1}{3}$。
(1)求值：$f(3)+f(\frac{1}{3})=$
，$f(5)+f(\frac{1}{5})=$
。
(2)猜想：$f(x)+f(\frac{1}{x})=$
，并证明你的结论。
(3)求$f(2025)+f(2024)+·s+f(2)+f(1)+f(\frac{1}{2})+·s+f(\frac{1}{2024})+f(\frac{1}{2025})$的值。
答案：(1)1，1；(2)1；(3)$\frac{4049}{2}$
解析：
(1) $f(3)=\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}$，$f(\frac{1}{3})=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}+1}=\frac{1}{4}$，则$f(3)+f(\frac{1}{3})=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$；$f(5)=\frac{5}{5+1}=\frac{5}{6}$，$f(\frac{1}{5})=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}+1}=\frac{1}{6}$，则$f(5)+f(\frac{1}{5})=\frac{5}{6}+\frac{1}{6}=1$。
(2) 猜想：$f(x)+f(\frac{1}{x})=1$。
证明：$f(x)=\frac{x}{x+1}$，$f(\frac{1}{x})=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+1}=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1+x}{x}}=\frac{1}{x+1}$，所以$f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}=1$。
(3) 原式$=[f(2025)+f(\frac{1}{2025})]+[f(2024)+f(\frac{1}{2024})]+··· +[f(2)+f(\frac{1}{2})]+f(1)$，由(2)知每个括号内的值为1，共有2024个括号，$f(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$，所以原式$=2024×1+\frac{1}{2}=2024.5$。
8. (跨学科融合)一根蜡烛经凸透镜成一实像，物距$u$，像距$v$和凸透镜的焦距$f$满足关系式：$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$。已知$u$和$v$，则$f=$(
)。
A.$\frac{u+v}{uv}$
B.$\frac{u-v}{uv}$
C.$\frac{uv}{u-v}$
D.$\frac{uv}{u+v}$
答案：D
解析：
由题意关系式$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$，对等式左边进行通分可得$\frac{v + u}{uv}=\frac{1}{f}$，等式两边同时取倒数，即可得出$f=\frac{uv}{u + v}$。
9. 【阅读材料1】为了研究分式$\frac{1}{x}$的值与分母$x$的关系，我们制作了表18.3-1。
表18.3-1
观察表中的数据发现，当$x＞0$时，随着$x$的增大，$\frac{1}{x}$的值随之减小，并无限接近0；当$x＜0$时，随着$x$的增大，$\frac{1}{x}$的值也随之减小。
【阅读材料2】对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”。任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式。
例如，$\frac{x-1}{x+1}=\frac{(x+1)-2}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$，
$\frac{x^{2}}{x-1}=\frac{x^{2}-1+1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)+1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$。
根据以上材料，解答下列问题：
(1)当$a＞0$时，随着$a$的增大，$1+\frac{1}{a}$的值
(填“增大”或“减小”)；
当$a＜0$时，随着$a$的增大，$\frac{a+2}{a}$的值
(填“增大”或“减小”)；
(2)当$a＞1$时，随着$a$的增大，$\frac{3a+1}{a-1}$的值无限接近一个数，请求出这个数。
答案：3
解析：
(1)减小；减小
(2)将$\frac{3a+1}{a-1}$变形：
$\frac{3a+1}{a-1}=\frac{3(a-1)+4}{a-1}=3+\frac{4}{a-1}$，
当$a＞1$且$a$增大时，$\frac{4}{a-1}$无限接近0，
故$\frac{3a+1}{a-1}$无限接近$3+0=3$。
