4. 使式子$\frac{x + 3}{x - 3}÷\frac{x + 2}{x + 4}$有意义的$x$的取值范围是（ ）.
A. $x \neq 3$且$x \neq -4$
B. $x \neq 3$且$x \neq -2$
C. $x \neq 3$，$x \neq -4$且$x \neq -2$
D. $x \neq 3$且$x \neq -3$
答案：C
解析：分式有意义需分母不为$0$，除数不为$0$。$x - 3 \neq 0$，$x + 4 \neq 0$，$x + 2 \neq 0$，解得$x \neq 3$，$x \neq -4$，$x \neq -2$。
5. 当$x = 3$，$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{7}$时，求$\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}÷\frac{3x - 3}{x + 1}$的值.
答案：$\frac{1}{3}$
解析：$\frac{(x - 1)^2}{(x - 1)(x + 1)}·\frac{x + 1}{3(x - 1)} = \frac{1}{3}$，化简结果与$x$无关，所以值为$\frac{1}{3}$。
7. 如图，将长、宽分别为$m$，$n$的长方形硬纸片拼成一个“带孔的正方形”，已知拼成的大正方形面积为$16$，中间的小正方形面积为$4$. 求$(m^4 - n^4)÷\frac{m^2 + n^2}{mn}÷(6m - 6n)$的值.（第7题）
答案：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
解析：大正方形边长为$4$，小正方形边长为$2$，则$m + n = 4$，$m - n = 2$，解得$m = 3$，$n = 1$。原式$=(m^2 + n^2)(m + n)(m - n)·\frac{mn}{m^2 + n^2}·\frac{1}{6(m - n)} = \frac{(m + n)mn}{6} = \frac{4×3×1}{6} = 2$。（注：若图形中$m$，$n$关系不同，结果可能不同，此处按常见“带孔正方形”模型计算）
8. （跨学科融合）如果两种灯泡的额定功率分别是$P_1 = \frac{U^2}{R}$，$P_2 = \frac{U^2}{5R}$，那么第一只灯泡的额定功率是第二只灯泡的额定功率的__________倍.
答案：5
解析：$\frac{P_1}{P_2} = \frac{\frac{U^2}{R}}{\frac{U^2}{5R}} = 5$。
9. （生活中的数学）某超市以相同的总价购入了西蓝花和西红柿，已知购入西蓝花$(x - 3)^2$kg，购入西红柿$(x^2 - 9)$kg，其中$x ＞ 3$，售完后，西蓝花和西红柿的销售收入都是$270$元.
（1）请用含$x$的代数式分别表示超市销售这两种蔬菜的单价；
（2）西蓝花的单价是西红柿的单价的多少倍？
答案：（1）西蓝花单价$\frac{270}{(x - 3)^2}$元/kg，西红柿单价$\frac{270}{(x - 3)(x + 3)}$元/kg
解析：单价 = 总价÷数量，西蓝花单价为$\frac{270}{(x - 3)^2}$，西红柿单价为$\frac{270}{x^2 - 9} = \frac{270}{(x - 3)(x + 3)}$。
（2）$\frac{x + 3}{x - 3}$
解析：$\frac{270}{(x - 3)^2}÷\frac{270}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x + 3}{x - 3}$。
6. 老师设计了接力游戏，请甲、乙、丙、丁四名同学用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简过程如图所示，接力中，（ ）同学负责的那步出现错误.
（图中显示：老师$\frac{x^2 - 2x}{x - 1} ÷ \frac{x^2}{1 - x}$→甲$\frac{x^2 - 2x}{x - 1} · \frac{x - 1}{x^2}$→乙$\frac{x(x - 2)}{x - 1} · \frac{x - 1}{x^2}$→丙$\frac{x(x - 2)(x - 1)}{(x - 1)x^2}$→丁$\frac{x - 2}{x}$）
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
答案：A
解析：甲同学将除法转化为乘法时，$\frac{x^2}{1 - x}$的倒数应为$\frac{1 - x}{x^2}$，而不是$\frac{x - 1}{x^2}$，甲同学符号错误。
