A. $a(a+1)=a^2+a$ 是整式的乘法，不是因式分解。
B. $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 是整式的乘法，不是因式分解。
C. $a^2+4a+4=(a+2)^2$ 是因式分解，满足条件。
D. $a+1=a(1+\frac{1}{a})$，右边 $1+\frac{1}{a}$ 不是整式，不是因式分解。
故选项C符合题意。

因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，要根据这一点来逐一分析选项。
选项A：$y(y - 2)=y^2 - 2y$，是从整式的积到多项式的变形，属于整式乘法，不是因式分解。
选项B：$8a^2b^3c = 2a^2·2b^3·2c$，等号左边$8a^2b^3c$是一个单项式，不是多项式，且右边也不是因式分解的正确形式，所以不是因式分解。
选项C：$x + 2=x(1+\frac{2}{x})$，右边$\frac{2}{x}$不是整式，不满足因式分解是把多项式化为几个整式的积的形式这一条件，所以不是因式分解。
选项D：$x^2 + 6x + 9=(x + 3)^2$，是把多项式$x^2 + 6x + 9$化为了$(x + 3)$与$(x + 3)$这两个整式的积的形式，属于因式分解。

多项式各项系数的最大公约数是3，相同字母a的最低次幂是$a^2$，相同字母b的最低次幂是$b^2$，首项系数为负，故公因式为$-3a^2b^2$。