6. 在社会主义新农村建设中,某乡镇决定对一段公路进行改造。已知这项工程由甲工程队单独做需要 40 天完成；如果由乙工程队先单独做 10 天,那么剩下的工程还需要两队合做 20 天才能完成。
(1)求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；
(2)求两队合做完成这项工程所需的天数。
答案：$(1)$求乙工程队单独完成这项工程所需的天数
设乙工程队单独完成这项工程需要$x$天，将工作总量看作单位“$1$”。
根据工作效率$=$工作总量$÷$工作时间，可得甲工程队的工作效率为$\frac{1}{40}$，乙工程队的工作效率为$\frac{1}{x}$。
乙工程队先单独做$10$天的工作量为$10×\frac{1}{x}$，两队合做$20$天的工作量为$20×(\frac{1}{40}+\frac{1}{x})$。
根据乙先做$10$天，剩下的工程两队合做$20$天完成，可列方程：
$10×\frac{1}{x}+20×(\frac{1}{40}+\frac{1}{x}) = 1$
解这个方程：
$\begin{aligned}\frac{10}{x}+\frac{20}{40}+\frac{20}{x}&=1\\frac{10}{x}+\frac{1}{2}+\frac{20}{x}&=1\\frac{10 + 20}{x}&=1-\frac{1}{2}\\frac{30}{x}&=\frac{1}{2}\\x&=30×2\\x& = 60\end{aligned}$
经检验，$x = 60$是原方程的解，且符合题意。
$(2)$求两队合做完成这项工程所需的天数
两队合作的工作效率为甲、乙工作效率之和，即$\frac{1}{40}+\frac{1}{60}$。
根据工作时间$=$工作总量$÷$工作效率，可得两队合做完成这项工程需要的天数为：
$1÷(\frac{1}{40}+\frac{1}{60})$
$=1÷(\frac{3}{120}+\frac{2}{120})$
$=1÷\frac{5}{120}$
$=1×\frac{120}{5}$
$ = 24$（天）
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{60}$天；$(2)$$\boldsymbol{24}$天。
7. 生活垃圾处理是关系民生的基础性公益事业,加强生活垃圾分类处理,维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任。某小区准备购进 A 型和 B 型两种垃圾桶,已知购买一个 B 型垃圾桶比购买一个 A 型垃圾桶多花 20 元,用 250 元购进 A 型垃圾桶的数量与用 350 元购进 B 型垃圾桶的数量相等。
(1)求购买一个 A 型垃圾桶、一个 B 型垃圾桶各需多少元；
(2)小区决定用不超过 600 元购进 A、B 两种型号的垃圾桶共 10 个,且 A 型垃圾桶的个数不多于 B 型垃圾桶的个数的 2 倍。问小区有几种购买方案？
答案：$(1)$求购买一个$A$型垃圾桶、一个$B$型垃圾桶各需多少元
设购买一个$A$型垃圾桶需$x$元，则购买一个$B$型垃圾桶需$(x + 20)$元。
根据“用$250$元购进$A$型垃圾桶的数量与用$350$元购进$B$型垃圾桶的数量相等”，可列方程：
$\frac{250}{x}=\frac{350}{x + 20}$
交叉相乘得：$250(x + 20)=350x$
去括号：$250x+5000 = 350x$
移项：$350x-250x=5000$
合并同类项：$100x = 5000$
解得：$x = 50$
则$x + 20=50 + 20=70$（元）
所以购买一个$A$型垃圾桶需$50$元，购买一个$B$型垃圾桶需$70$元。
$(2)$求小区有几种购买方案
设购进$A$型垃圾桶$m$个，则购进$B$型垃圾桶$(10 - m)$个。
根据“用不超过$600$元购进$A$、$B$两种型号的垃圾桶”可得：$50m+70(10 - m)\leq600$
根据“$A$型垃圾桶的个数不多于$B$型垃圾桶的个数的$2$倍”可得：$m\leq2(10 - m)$
先解不等式$50m+70(10 - m)\leq600$：
去括号：$50m+700-70m\leq600$
移项：$50m-70m\leq600 - 700$
合并同类项：$-20m\leq - 100$
两边同时除以$-20$，不等号变向：$m\geq5$
再解不等式$m\leq2(10 - m)$：
去括号：$m\leq20-2m$
移项：$m + 2m\leq20$
合并同类项：$3m\leq20$
解得：$m\leq\frac{20}{3}\approx6.67$
因为$m$为正整数，所以$m$的值可以是$5$，$6$。
当$m = 5$时，$10 - m=10 - 5 = 5$；
当$m = 6$时，$10 - m=10 - 6 = 4$。
所以小区有$2$种购买方案。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{50}$元，$\boldsymbol{70}$元；$(2)$$\boldsymbol{2}$种。
8. 第九届亚冬会于 2025 年 2 月 7 日至 2 月 14 日在哈尔滨市成功举办,我国代表团以 32 金 27 银 26 铜取得了金牌和奖牌双第一名的优异成绩。本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”。某批发市场门店销售“滨滨”和“妮妮”两种纪念品。若一个“妮妮”纪念品的价格比一个“滨滨”纪念品的价格多 30 元,且用 600 元购买“滨滨”纪念品的数量与用 900 元购买“妮妮”纪念品的数量相等。
(1)“滨滨”和“妮妮”两种纪念品的单价分别是多少元？
(2)某商店计划购进“滨滨”和“妮妮”两种纪念品共 30 个,若进货总支出不超过 2000 元,求最多可以购进“妮妮”纪念品多少个？
答案：
(1)设“滨滨”纪念品的单价是x元，则600/x=900/(x+30)，解得x=60. 经检验：x=60是原分式方程的解，
∴x+30=90. 答：“滨滨”纪念品的单价为60元，“妮妮”纪念品的单价是90元.
(2)设可以购进“妮妮”纪念品a个. 根据题意得60(30-a)+90a≤2000，解得$a≤6\frac{2}{3}，$
∴a的最大值为6. 答：最多可以购进“妮妮”纪念品6个
