例2 如图2.2.4,AB、CD是⊙O的弦,且AB//CD.$\overset{\frown}{AC}与\overset{\frown}{BD}$相等吗？为什么？
答案：解：$\overset{\LARGE{ \frown}}{ AC}=\overset{\LARGE{ \frown}}{ BD}$
理由：连接AD，BC
∵AB//CD，
∴∠ABC=∠BCD
∴∠ABC=∠ADC，
∴∠BCD=∠ADC
∴$\overset{\LARGE{ \frown}}{ AC}=\overset{\LARGE{ \frown}}{ BD}$
解析：
$\widehat{AC}=\widehat{BD}$.
连接$AD$.
因为$AB// CD$，所以$\angle BAD=\angle ADC$.
所以$\widehat{AC}=\widehat{BD}$.
1. 如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,AB= 20,CD= 16,则线段OE的长为(
B
)
A.4
B.6
C.8
D.10
答案：B
解析：
连接OC，
∵AB是⊙O的直径，AB=20，
∴OC=OA=10，
∵CD⊥AB，CD=16，
∴CE=DE=8，∠OEC=90°，
在Rt△OEC中，OE²+CE²=OC²，
OE²+8²=10²，
OE²=36，
OE=6，
B
2. 如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,CE= 1,AB= 10,则直径CD的长为(
D
)
A.12.5
B.13
C.25
D.26
答案：D
解析：
连接OA，设⊙O的半径为$r$，则$OA = OC = r$。
因为$CE = 1$，所以$OE = OC - CE = r - 1$。
由于$AB \perp CD$，$AB = 10$，根据垂径定理，$AE = \frac{1}{2}AB = 5$。
在$Rt\triangle AOE$中，由勾股定理得：$OA^2 = AE^2 + OE^2$，即$r^2 = 5^2 + (r - 1)^2$。
解得$r = 13$，故直径$CD = 2r = 26$。
D
3. 如图,已知⊙O的半径为5,弦AB= 6,M是AB上的任意一点,则线段OM的长可能是(
C
)
A.2.5
B.3.5
C.4.5
D.5.5
答案：C
解析：
过点O作OH⊥AB于点H，连接OA。
∵AB=6，OH⊥AB，
∴AH=HB=3。
∵OA=5，
∴在Rt△OAH中，OH=$\sqrt{OA^2 - AH^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$。
∵M是AB上任意一点，
∴OH≤OM≤OA，即4≤OM≤5。
选项中符合条件的是4.5。
C
4. 如图,AB是半圆O的直径,OD⊥AC,垂足为D,OD= 2,则弦BC的长为
4
.
答案：4
解析：
∵AB是半圆O的直径，
∴O是AB的中点。
∵OD⊥AC，
∴AD=DC，即D是AC的中点。
∴OD是△ABC的中位线。
∴BC=2OD。
∵OD=2，
∴BC=2×2=4。
4
5. 如图,将半径为2 cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,折痕AB的长为
$2\sqrt{3}\ \mathrm {cm}$
.
答案：$2\sqrt{3}\ \mathrm {cm}$
解析：
连接OA，过点O作OC⊥AB于点C，则AC=BC。
由折叠性质知，点O到AB的距离OC=$\frac{1}{2}$OA=1cm。
在Rt△OAC中，OA=2cm，OC=1cm，
$AC=\sqrt{OA^{2}-OC^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$cm，
AB=2AC=2$\sqrt{3}$cm。
$2\sqrt{3}$ cm
