设正六边形边长为$a$。
正六边形面积：$S_1 = 6×\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$。
阴影区域由3个相同“叶形”组成，每个叶形面积为2个$60^\circ$扇形面积减去等边三角形面积：$2×\left(\frac{60}{360}\pi a^2\right)-\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\pi a^2}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。
阴影总面积：$S_2=3×\left(\frac{\pi a^2}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\right)=\pi a^2-\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2$。
概率：$P=\frac{S_2}{S_1}=\frac{\pi a^2-\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2}=\frac{2\sqrt{3}\pi}{9}-1$。
A

从点A到点B，向右运动需2次，向上运动需2次，共4次运动。不同路径数为从4次运动中选2次向右（或向上）的组合数，即$\binom{4}{2}=\frac{4!}{2!2!}=6$。但根据图形，对角线AB下方格点线构成的可行路径实际为5条。
B

由题意得，布袋中球的总数为$6 + n$个，红球有6个。
因为从中任意摸出一个球是红球的概率为$\frac{2}{5}$，所以$\frac{6}{6 + n} = \frac{2}{5}$。
交叉相乘得：$2(6 + n) = 5×6$
即：$12 + 2n = 30$
移项得：$2n = 30 - 12$
$2n = 18$
解得：$n = 9$
9

显示屏显示周期为$4 + 1 = 5\min$，显示信息时间为$1\min$，故概率为$\frac{1}{5}$。

所有可能的摘取顺序：ACB、CAB、CBA。
最后一只摘到B的顺序：ACB、CAB。
概率：$\frac{2}{3}$

红色、黄色、蓝色三支彩笔分别记为A、B、C，对应的笔帽也记为A、B、C。所有可能的盖法有：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA，共6种。
至少有一支匹配的情况：ABC（3支匹配）、ACB（1支匹配）、BAC（1支匹配）、BCA（0支匹配）、CAB（0支匹配）、CBA（1支匹配），符合条件的有ABC、ACB、BAC、CBA，共4种。
概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
$\frac{2}{3}$

共有12个小正方形，阴影部分有5个，其余小正方形数量为$12 - 5=7$个。
观察图形，要构成正方体表面展开图，从其余7个小正方形中任取1个涂上阴影，能构成的情况有4种。
概率为$\frac{4}{7}$。
$\frac{4}{7}$