2. 剪纸艺术是中国民间艺术之一,很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如图是一个蝴蝶剪纸,可以看作一个轴对称图形,将其放在平面直角坐标系中,如果图中点E的坐标为(2m,-n),其关于y轴对称的点F的坐标为(3-n,-m+1),那么m-n的值为(
D
)
A.-9
B.-1
C.0
D.1
答案：D
解析：
在平面直角坐标系中，关于$y$轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数。
已知点$E$的坐标为$(2m, -n)$，其关于$y$轴对称的点$F$的坐标为$(3 - n, -m + 1)$，
则可得$\begin{cases}2m=-(3 - n)\\-n=-m + 1\end{cases}$。
由$2m=-(3 - n)$可得$2m=-3 + n$，即$n=2m + 3$。
将$n=2m + 3$代入$-n=-m + 1$中，得到$-(2m + 3)=-m + 1$。
去括号得$-2m - 3=-m + 1$。
移项可得$-2m + m=1 + 3$。
合并同类项得$-m=4$，解得$m=-4$。
把$m=-4$代入$n=2m + 3$，可得$n=2×(-4)+3=-8 + 3=-5$。
所以$m - n=-4-(-5)=-4 + 5=1$。
3. 如果点A(a,b)在第三象限,则点B(-a+1,3b-5)关于原点的对称点在第
二
象限.
答案：二
解析：
首先，由于点$A(a,b)$在第三象限，根据坐标系的性质，我们知道第三象限的点横坐标和纵坐标都为负，即$a ＜ 0$，$b ＜ 0$。
接着，我们考虑点$B(-a+1,3b-5)$的坐标。由于$a ＜ 0$，则$-a ＞ 0$，所以$-a+1 ＞ 0$，即点B的横坐标为正；由于$b ＜ 0$，则$3b ＜ 0$，所以$3b-5 ＜ 0$，即点B的纵坐标为负。因此，点$B(-a+1,3b-5)$的横坐标为正，纵坐标为负，所以点B位于第四象限。
最后，我们考虑点B关于原点的对称点。根据对称点的性质，如果点B在第四象限，那么它关于原点的对称点将在第二象限。
4. 在平面直角坐标系中,对△ABC按照如图所示的方式进行若干次轴对称变换,若点A的坐标是(a,b),则经过第1002次变换后所得的三角形中,点A的对应点的坐标是
$(-a,-b)$
.
答案：$(-a,-b)$
解析：
分析变换方式：
关于$x$轴对称：点$(x,y)$关于$x$轴对称的点为$(x,-y)$。
关于$y$轴对称：点$(x,y)$关于$y$轴对称的点为$(-x,y)$。
观察变换规律：
第一次关于$x$轴对称：$(a,b)\to(a,-b)$。
第二次关于$y$轴对称：$(a,-b)\to(-a,-b)$。
第三次关于$x$轴对称：$(-a,-b)\to(-a,b)$。
第四次关于$y$轴对称：$(-a,b)\to(a,b)$。
由此可知，每四次变换为一个循环，点$A$的坐标回到原始坐标$(a,b)$。
计算第$1002$次变换后的坐标：
$1002÷4=250\dots\dots2$。
即经过$1002$次变换后，相当于经过了$250$个完整的循环，再多$2$次变换。
根据变换规律，多两次变换后，点$A$的坐标为$(-a,-b)$。
5. 在平面直角坐标系中,直线l过点M(3,0),且平行于y轴.
(1)如果△ABC三个顶点的坐标分别是A(-2,0),B(-1,0),C(-1,2),△ABC关于y轴的对称图形是$△A_1B_1C_1,△A_1B_1C_1$关于直线l的对称图形是$△A_2B_2C_2,$写出$△A_2B_2C_2$的三个顶点的坐标;
(2)如果点P的坐标是(-a,0),其中a＞0,点P关于y轴的对称点是$P_1,$点$P_1$关于直线l的对称点是$P_2,$求线段$PP_2$的长.
答案：(1)A₂(4,0)，B₂(5,0)，C₂(5,2)；(2)6。
解析：
(1)
∵△ABC关于y轴对称得△A₁B₁C₁，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴A(-2,0)→A₁(2,0)，B(-1,0)→B₁(1,0)，C(-1,2)→C₁(1,2)。
∵直线l：x=3，关于直线x=3对称的点横坐标满足x'=6-x，纵坐标不变，
∴A₁(2,0)→A₂(6-2,0)=(4,0)，B₁(1,0)→B₂(6-1,0)=(5,0)，C₁(1,2)→C₂(6-1,2)=(5,2)。
故△A₂B₂C₂的顶点坐标为A₂(4,0)，B₂(5,0)，C₂(5,2)。
(2)
点P(-a,0)关于y轴对称得P₁(a,0)。
P₁(a,0)关于直线l：x=3对称得P₂(6-a,0)。
∵P(-a,0)，P₂(6-a,0)，
∴PP₂=|(6-a)-(-a)|=|6|=6。
